一、前言
Goldbach猜想是Goldbach和Euler在1742年的数次通信中提出来的。他们猜测：（1）每个不小于6的偶数是两个奇素数之和；（2）每个不小于9的奇数是三个奇素数之和。当然，如果（1）成立的话，（2）便随之成立，这是因为，任一奇数N奇=(N奇－3)+3≥9,把其中N奇－3这个偶数（＞4）按（1）（若成立的话），就有两奇个素数p1, p2,使得(N奇－3)= p1 +p2，而把3叫p3（也是奇素数），便有了：N奇= p1 +p2+ p3
二、定理：若N为≥6的偶数，则N= p1 +p2（p1, p2是奇素数） (3)。
三、证明：设AN（N=6,8,10，…）是一串特殊的待定数值，如果能作出一个函数G（t）使G（t）的无穷收敛级数展开式正好是G（t）=∑[6≤N≤∞] ANtN(N为≥6的偶数),则称G（t）是数组AN（N=6,8,10，…）的生成函数。
现在我们用数组的生成函数表示式中的无穷收敛级数来确定方程N= p1 +p2（p1, p2是奇素数）的解的个数。
用AN表示方程(3)式非负整数解组的个数，我们来确定AN的生成函数G（t） ，为此我们来看下面两个无穷收敛级数的相乘时同幂次项的合并过程
（∑[3≤p1≤∞]tp1）（∑[3≤p2≤∞]tp2）=∑[3≤p1≤∞]∑[3≤p2≤∞]tp1+ p2=∑[6≤N≤∞]（∑[N= p1 +p2] 1）tN，（－1＜t＜1）
我们发现方程N= p1 +p2的每组非负整数解（p1, p2）对应一个tN的项∑[N= p1 +p2] 1，故AN=∑[N= p1 +p2] 1，故AN的生成函数也就是
G（t）=∑[6≤N≤∞] ANtN=（∑[3≤p1≤∞]tp1）（∑[3≤p2≤∞]tp2）
因为∑[3≤p1≤∞]tp1= t3/（1－t2）－t9/（1－t6）－t25/（1－t10）－t49/（1－t28）－t121/（1－t22）－t169/（1－t26）－…≥t3/（1－t2）－t9/（1－t2）
G（t）=∑[6≤N≤∞] ANtN=（∑[3≤p1≤∞]tp1）（∑[3≤p2≤∞]tp2）≥{（t3－t9）/（1－t2）}2=（t6－2t12+ t18）/（1－t2）2=∑[6≤N≤∞]（1－t6）2/（1－t2）tN
所以AN≥（1－t6）2/（1－t2），只要证明（1－t6）2/（1－t2）≥1 （4），定理即得证。
（4）式即（1－t6）2≥1－t2，即t12－2t6+1+t2≥1，即t12－2t6+t2≥0，因为t2≥0，即t10－2t4+1≥0，即t10+1≥2t4≥2t5，因为（1－t5）2≥0，所以定理得证。