【不等式】一道凸函数证明题

这都能水一贴

证明，若f在R上是下凸函数，且f有上界，则f是常值函数
这个好像用不到高等数学的东西啊。怎么会作为考题的呢？

看我做得对不对。假设f非常。即存在a<b使得f(a)<f(b)或者f(a)>f(b)
如果f(a)<f(b),记δ=b-a>0 , Δ=f(b)-f(a)>0
则
f(a+δ)-f(a)=Δ
f(a+2δ)-f(a+δ)>=f(a+δ)-f(a)=Δ
f(a+3δ)-f(a+2δ)>=f(a+2δ)-f(a+δ)=Δ
...
f(a+nδ)-f(a+(n-1)δ)>=f(a+(n-1)δ)-f(a+(n-2)δ)=Δ
相加得f(a+nδ)>=f(a)+nδ ->+∞ as n->+∞
矛盾
如果f(a)>f(b),作 g(x)=f(-x),
则g在R上是下凸函数，且g有上界,相同推理得出矛盾
证毕