大家鼓掌～～

我来补充一些关于那种“外形弯曲”在物理上的应用。
从单纯的GR来说，外形弯曲是一个不需要考虑的问题。因为我们的物理都局限在时空的内秉属性上，所以外形如何只要不影响到内秉性质就无所谓。
但是，就现代物理学来说，外部的弯曲却是会影响到内在的物理的，那就是在膜宇宙中。
在膜宇宙学中，世界是在一张很大的膜上的，而这张膜是可以有外部结构的。在引力以外的其它相互作用力中，膜的结构并不导致任何影响，因为除了引力的相互作用力对时空的依赖只局限在内秉性质，因而膜在高维空间中的形态并不重要。
但是引力不同，引力是可以在全空间传播的作用力，说白了就是时空本身的属性，而不仅仅局限在膜上。因而在膜外引力也能传播。
这就导致了很好玩的一件事情：平直的膜与柱面膜的内秉度规是完全相同的，但是他们将导致完全不同的引力理论——说完全不同也不尽然，不过差异是存在的。
这是由于高维空间中的引力子在平直膜上的传递还是在膜内的，但是在柱面膜中，除了可以沿着膜来传递引力子以外，引力子也可以通过柱面中间的“空间”来传递，从而在膜上得到“附加”的引力效应。
当然，这种附加效应只能在大尺度上才可能被观测到，除非柱面膜的直径非常小——但是这样的话我们的宇宙也就大不到哪里去了。
因而，在膜宇宙学中，时空的嵌入性质就变得重要了起来。
当然，不单单这个，膜宇宙中还有很多附加作用项，这些作用项在四维的时候都是拓扑平庸的，但是在高维中却可能不平庸，从而在四维膜上诱导出非常诡异的性质。

本帖设为精品。

两位L.先生的发言都十分精彩，值得吧友认真体会�

对于lost所说的膜宇宙，各位可以看看《优雅的宇宙 -- 11维空间》视频。

http://tieba.baidu.com/%CF%E0%B6%D4%C2%DB/shipin/play/b0d61b833fdebe8ba2d3d772

“内禀弯曲”，其实是弯曲的一种表现形式。不同于从高维空间直接观察到弯曲的体验，内禀弯曲指的是“内在的弯曲形式”，是一个弯曲空间在本身空间内部所表现出来的弯曲固有的特征。举一个最简单的例子：如果一个人沿着一个方向不停地走，最终走到出发的地点，那么可以肯定，沿着走的那条路是一个环。这个人走的时候根本无法直接体验到他所走的“道路”是弯曲的，但是他还是最终认识到弯曲的存在。在这里，这条路完全与欧氏几何相悖，因为欧几里德几何中，一条直线是永远不与自身相交的。

大家的补充都非常好，希望本贴能对初学者理解弯曲时空有所帮助。
2楼lost的补充很高端，M理论我也不懂。

5楼的说法却存在很多问题，除了fish指出的之外
“遥远的星光如果掠过太阳表面将会发生一点七秒的偏转。这就是时空弯曲.”
这个认识是不对的，时空弯曲不能理解成光线弯曲，光线弯曲是光的轨迹在三维空间中外形上的弯曲，而时空弯曲是四维空间的内禀弯曲，二者不可混淆。当然，二者有关联：时空内禀弯曲会导致沿某些方向的光线发生外形弯曲（轨迹不是三维测地线），但是此时有些方向的光是不弯曲的（轨迹是三维测地线），比如射向太阳中心的光。

4πr是什么我不知道

太阳系若看作施瓦西时空，则以太阳为圆心的球的表面积是小于4πr^2的


答疑21楼：
任何曲面上只要可以定义距离就可以像平面上一样定义圆，距离可以用曲面中的测地线定义（测地线是直线在曲面上的推广，如果度规是正定的，测地线等价于短程线）
有了距离的概念，曲面上可以定义圆，圆周率自然可以计算，在球面这种曲面上，这个值小于π

本帖置顶一段时间�

答疑18楼：
请教‘弯曲时空’中，还有没有‘平直’一说？ 

弯曲时空中有平直的概念，测地线就是直线，就是外形平直的线，虽然它看上去很直，但我们不能叫它直线，除非我们的时空是欧氏的�

在哪种曲面上会大于π�

继续答疑：
罗氏空间中圆周率大于π，爱因斯坦转盘是一个典型的罗氏空间

无论是你说的“经典的距离”还是“相对论的距离”都是在微分几何中定义的：
先定义无穷小距离，用度量张量定义。
然后空间中两点间的距离用无穷小距离沿测地线积分来定义�

既然南澳洲老师讲此帖置顶，那么我会在此回答大家的有关疑问。
鉴于精力，不保证每条都回答，挑比较有代表性的问题回答

鼓掌！！！！

来理理概念。
首先来说一下什么是“内秉”的属性，什么是“外形”的属性。
内秉的属性，就是说我们从几何体自身出发可以得到的性质，比如连通性（粗略地说就是一个几何体有没有断裂没有洞等性质，是一种拓扑性质）、有界形、有限形等等，都不需要从更高的维度出发就能知道。
举一个例子：某蚂蚁同学只能在一张纸上运动，不能跳，不能往上看，只能前后左右看。然后这个蚂蚁在这张纸上爬，一边爬还一边留下气味信息。那么，只要爬得足够勤快，时间足够长，它总能知道自己所在的这张纸有没有边界：到了某个地方不能爬了，没地方让它爬了。它也总能知道这个地方是否有限：时间足够长以后它总会爬到一个地方这里有它之前留下的气味。他也总能知道这张纸的连通性如何：比如有没有什么地方破了一个洞，它总能知道的。因而，这类性质是内秉的，当然，蚂蚁的例子是无法给出所有内秉属性的，只是一个粗略的例子而已，所以别问“为什么蚂蚁无法区分内秉弯曲与内秉平直”这种问题，它是蚂蚁，不是爱因斯坦。
而外形的性质，则是需要借助从更高的维度去看才能发现的性质。
让我们来看一下圆柱体。在我们的概念中，圆柱体的表面显然是弯曲的，理由很简单：一张纸卷成圆柱形以后会有摊开回复平直的趋势嘛。但是对于纯粹的一维几何体来说，不存在这种趋势，所以日常经验在这里是不适合的。那么，我们如何从蚂蚁的角度来区分球面与圆柱面呢？
假定现在有两只蚂蚁（蚂蚁真倒霉，被我这么蹂躏……），他们相距一定距离，然后以相同的速度，向相同的方向开始爬行。
如果是在圆柱面中，那么不管他们怎么爬，始终都是保持平行的，也即它们之间的距离保持恒定不会远离，也不会靠近。如果这两只蚂蚁拥有火箭的速度，那么他们也必然是安全的，不会相撞出车祸。
但是在球面上就不同了。球面上每只蚂蚁都是沿着球的径线在爬行，因而它们俩爬呀爬，很诧异地发现两人越靠越近，最后相撞，发生车祸，惨不忍睹。
这就是内秉弯曲与内秉平直的区别，当然，单个蚂蚁是无法发现这种区别的，一定要有两只蚂蚁才行——什么？蚂蚁是瞎子？我kao，这里不研究生物学！
上面所说的都还是内秉的性质，因而从这两只蚂蚁看来，圆柱面是平直的。
但是，从我们三维中的人看来，圆柱面显然是不平直的——这就是内秉几何属性与嵌入几何属性的区别（嵌入说的是镶嵌到高维空间中，因而就是外形几何性质）。
因而，我们的宇宙完全可能是某个柱面，也可能是某个平面，对我们来说没太大的影响（当然，影响还是有的，就是有限大与无限大的区别。事实上，平面与圆柱面的拓扑属性是不同的，因而我们作为聪明的人类而非笨笨的蚂蚁总能区分出来的）。

下面来说一下“弯曲时空”中的“直线”等概念。
首先我们要知道一点，那就是什么是直线？
在我们所习以为常的欧式空间，直线的理解很简单，可谓望文生义，没啥好说的。但是在弯曲时空中呢？你说是坐标增量保持一定的比例吧，弯曲时空中坐标轴本身就是弯曲的，所以你要考坐标来研究直线与否是没希望的——想想极坐标、柱坐标和球坐标就知道了。
不能用坐标，那只能用平行的概念了：线上任意位置的切线都保持平行。
好了，问题来了：弯曲时空中如何定义平行呢？
说到底，意思就是说：我们日常生活中的概念用到弯曲时空中都是需要进行修改的。
具体怎么改，我就不说了。我和小图腾都写过微分几何方面的介绍（虽然偏数学了点），大家可以去翻翻。
从而，在弯曲时空中，“直线”这个很直观的概念就要修改了，成为了“测地线”——线上任意位置的切线都保持平行的曲线。
现在回到圆柱面等“嵌入几何体”上。在这些嵌入几何体上的测地线，在整个高维时空看来很可能不是测地线，更加不可能是直线，而是曲线（非测地线的线）。比如柱面的测地线可以是圆环曲线，在三维平直时空中，圆环曲线显然不是平直时空的测地线——直线。
说句题外话：这就是引力与别的力的区别：别的力是沿着膜（我们所生活的嵌入在高维空间中的时空）上的测地线跑的（近似地说，打个比方而已），而引力是沿着整个时空的测地线跑的。从而引力可以具有别的力所没有的性质，同时也更弱（这个是一些理论所得到的结果，但是还没被最终证明，等待LHC及其后继者）。

赋予时空物质性，是否能够更明确的理解时空弯曲呢，时空不空，具有物质性，就不要用内禀属性来解释，更容易理解一些�