谈谈[x,2x]中的素数发生率问题
在研究哥猜的偶数2x分成两个素数p1+p2问题时（p1≤p2)，
由于素数p1处于小区[1,x]，p2处于[x,2x]。
我们大家知道，依据素数定理的素数发生率：
在x→∞时，x之内的素数数量有 π(x)= x/logx；（式1）
这里的logx为自然对数。
那么对于p2处于[x,2x]区域的素数发生率该如何考量呢？
会不会在x→∞时，由于素数发生率1/logx的愈来愈小现象，因而造成[x,2x]区域的素数稀疏到几乎没有呢？
下面就此问题进行分析。
从素数定理π(x)= x/logx 出发，两边除以x,
就是π(x)/x= 1/logx ； （式2）
等号左边就是实际素数发生率；右边就是依据素数定理的理论素数发生率；
素数定理已经证明，在x→∞时，(式2)的两边相等。
但是实际中我们不可能观察到 x→∞极限情况，而在实际验证中发现，随x→大的过程中，理论素数发生率1/logx逐渐的逼近素数发生率π(x)/x。
因此我们可以从理论素数发生率1/logx着手，来研究[x,2x]中的素数发生率问题。
我们把数x用指数形式表示，即 x=10^n ,会比较方便。
对理论素数发生率1/logx，运用换底公式，则有
1/logx=lge/lgx=lge/n ; (式3)
式中，e为自然常数。
于是2x内的素数发生率 1/log（2x）有
1/log(2x)=lge/lg(2x)=lge/(lg2+n),
由于lge=0.4342944819 ，lg2=0.301029996 为已知值，
我们通过计算x内与2x内的素数发生率的比值，可以估算出[x,2x]中的素数发生率。
于是有：
bi(x)=1/log(2x)：1/logx=lge/(lg2+lgx)：lge/lgx=lgx/(lg2+lgx)=n/(0.301029996+n); (式4)
依据（式4)的计算：
x=10^8,有 bi(x)=8/(0.301029996+8）=0.96373583；
x=10^16,有 bi(x)=16/(0.301029996+16）=0.98153307；
x=10^20,有 bi(x)=20/(0.301029996+20）=0.98517169；
x=10^50,有 bi(x)=50/(0.301029996+50）=0.99401543；
x=10^100,有 bi(x)=100/(0.301029996+100）=0.9969987；
x=10^500,有 bi(x)=500/(0.301029996+500）=0.9993983；
x=10^1000,有 bi(x)=1000/(0.301029996+1000）=0.999699；此时对应的素数发生率1/logx≈0.00043429448;
……
至于[x,2x]中的素数发生率，则有
1og(2x)≈(2bi(x)-1)×lge/n ; (式5)
根据(式5)的计算[x,2x]中的素数数量的例子：（因为大数的[x,2x]中的素数数量难求，只计算比较小的数）
例一： x=10^5,π(10^5)=9592,素数发生率=0.09592；
[10万，20万]内，有 bi(x)=0.9432129;(0.9432129×2-1)×0.09592≈0.085026,即有素数8503个，实有8393个，相对误差Δ≈0.013；
例二：x=10^6,π(10^6)=78498,实际素数发生率=0.078498；
[100万，200万]内，有 bi(x)=0.95222527；（0.95222527×2-1)×0.078498≈0.0709976，实有素数70436，Δ≈70998/70436-1≈0.00798;
例三： x=10^7,π(10^7)=664579,素数发生率=0.0664579；bi(10^7)=0.9587688,
则（10^7,2×10^7)有素数：π(2×10^7)-π(10^7)=1270607-664579=606028； [x,2x]内素数发生率=0.0609776；Δ≈0.00618；
例四：在（20000000,40000000）中的素数情况怎么样？
由上例知：π(2×10^7)=1270607，此时的素数发生率=0.06353035；仍然用bi(10^7)=0.9587688，
（20000000,40000000）中的素数发生率=（0.9587688×2-1)×0.06353035=0.05829148，计算素数有1165830个。
实际有π(4×10^7)-π(2×10^7)=2433654-1270607=1163047，计算值的Δ≈0.00239，
例五：已知π(4×10^7)=2433654，计算（40000000,80000000）中素数。
40000000内的素数发生率=2433654/40000000=0.06084135,
（40000000,80000000）中素数发生率=（0.9587688×2-1)×0.06084135=0.055824226，
计算素数：0.055824226×40000000=2232969，
实有素数=π(8×10^7)-π(4×10^7)=4669382-2433654=2235728个，计算值的相对误差Δ≈-0.001234.
以上计算实例的数据表明：
根据(式5)对[x,2x]中素数数量计算值的相对误差是不大的，并且随数的增大，相对误差在逐渐缩小。
从x愈大，bi(x)愈来愈趋近1的计算数据我们可以知道：
大数的时候，[x,2x]中间的素数发生率与x内的素数发生率很接近。
因此担心【x→∞时，由于素数发生率1/logx会愈来愈小，因而造成[x,2x]区域的素数稀疏到几乎没有】是不可能发生的事件！
那么从式(3) x=10^n的素数发生率 1/logx=lge/n=0.4342944819/n ,有人会这么想：
只要x趋向无穷大即x=10^n的n不断增大，素数发生率1/logx=0.4342944819/n 不就可以趋向无穷小了吗？
这里应有一个原则，素数发生率能否趋向无穷小与对象x有关联：
比如：某病的发病率为0.001，对于一个班级、一个学校来说，是微不足道的，但是对于一个大城市来说是比较高的发病率了；
某奖得奖率为百万分之一，对于一个学校的人员来说，概率几乎为0；但是对于面向全国的福利彩票来说，百万分之一的一等奖得奖率是不可能的，太高了！
因此判断素数发生率 1/logx能否趋向于0，必须与x值的大小关联起来。
我认为：
对于一个函数f(x)，如果x→∞，有lim f(x)/x →0；
那么其中有两个情况要区别对待：
1，lim f(x)/x 快速趋向无穷小的：如logx/x ;
对任意的一个小量 ψ(x)=10^-n, （n≤20)
有 x=10^(n+2)能够使得f(x)/x ＜ψ(x)，则limf(x)→∞不成立，f(x)只是有限增大。
由此判断：素数发生率1/logx不能趋向无穷小。
2,lim f(x)/x 缓慢趋向无穷小的：如√x/x;
对任意的一个小量 ψ(x)=10^-n ，有 x≥10^(2n)能够使得f(x)/x ≤ψ(x)，则limf(x)→∞成立。
在这个方面，lim f(x)/x →0的速度是关键。
logx相对于x的增大速度很慢，决定了lim logx/x 必然快速地趋向无穷小。
你达不到宇宙第一速度，是不可能成为环绕地球飞行的卫星的。
当然我们不能割裂logx与x的关联而单独的衡量logx：
对于ψ(x)=0.01，n≥43.43时，有1/log(10^n)＜ψ(x);
对于ψ(x)=0.0001，n≥4343时，有1/log(10^n)＜ψ(x);
因此作出错误的判断：x→∞时有 1/logx →0，或者有 logx→∞。
因为此时的logx相对于x来说，也许不如一条牛身上的一根毛重与牛重的比例，也许不如一条牛身上的一个细胞重量与牛重之比例。
一个业余爱好者之言，仅供参考。有不妥之处，请指正。
希望对大家思考[x,2x]中间的素数发生率问题能够有所帮助。
在研究哥猜的偶数2x分成两个素数p1+p2问题时（p1≤p2)，
由于素数p1处于小区[1,x]，p2处于[x,2x]。
我们大家知道，依据素数定理的素数发生率：
在x→∞时，x之内的素数数量有 π(x)= x/logx；（式1）
这里的logx为自然对数。
那么对于p2处于[x,2x]区域的素数发生率该如何考量呢？
会不会在x→∞时，由于素数发生率1/logx的愈来愈小现象，因而造成[x,2x]区域的素数稀疏到几乎没有呢？
下面就此问题进行分析。
从素数定理π(x)= x/logx 出发，两边除以x,
就是π(x)/x= 1/logx ； （式2）
等号左边就是实际素数发生率；右边就是依据素数定理的理论素数发生率；
素数定理已经证明，在x→∞时，(式2)的两边相等。
但是实际中我们不可能观察到 x→∞极限情况，而在实际验证中发现，随x→大的过程中，理论素数发生率1/logx逐渐的逼近素数发生率π(x)/x。
因此我们可以从理论素数发生率1/logx着手，来研究[x,2x]中的素数发生率问题。
我们把数x用指数形式表示，即 x=10^n ,会比较方便。
对理论素数发生率1/logx，运用换底公式，则有
1/logx=lge/lgx=lge/n ; (式3)
式中，e为自然常数。
于是2x内的素数发生率 1/log（2x）有
1/log(2x)=lge/lg(2x)=lge/(lg2+n),
由于lge=0.4342944819 ，lg2=0.301029996 为已知值，
我们通过计算x内与2x内的素数发生率的比值，可以估算出[x,2x]中的素数发生率。
于是有：
bi(x)=1/log(2x)：1/logx=lge/(lg2+lgx)：lge/lgx=lgx/(lg2+lgx)=n/(0.301029996+n); (式4)
依据（式4)的计算：
x=10^8,有 bi(x)=8/(0.301029996+8）=0.96373583；
x=10^16,有 bi(x)=16/(0.301029996+16）=0.98153307；
x=10^20,有 bi(x)=20/(0.301029996+20）=0.98517169；
x=10^50,有 bi(x)=50/(0.301029996+50）=0.99401543；
x=10^100,有 bi(x)=100/(0.301029996+100）=0.9969987；
x=10^500,有 bi(x)=500/(0.301029996+500）=0.9993983；
x=10^1000,有 bi(x)=1000/(0.301029996+1000）=0.999699；此时对应的素数发生率1/logx≈0.00043429448;
……
至于[x,2x]中的素数发生率，则有
1og(2x)≈(2bi(x)-1)×lge/n ; (式5)
根据(式5)的计算[x,2x]中的素数数量的例子：（因为大数的[x,2x]中的素数数量难求，只计算比较小的数）
例一： x=10^5,π(10^5)=9592,素数发生率=0.09592；
[10万，20万]内，有 bi(x)=0.9432129;(0.9432129×2-1)×0.09592≈0.085026,即有素数8503个，实有8393个，相对误差Δ≈0.013；
例二：x=10^6,π(10^6)=78498,实际素数发生率=0.078498；
[100万，200万]内，有 bi(x)=0.95222527；（0.95222527×2-1)×0.078498≈0.0709976，实有素数70436，Δ≈70998/70436-1≈0.00798;
例三： x=10^7,π(10^7)=664579,素数发生率=0.0664579；bi(10^7)=0.9587688,
则（10^7,2×10^7)有素数：π(2×10^7)-π(10^7)=1270607-664579=606028； [x,2x]内素数发生率=0.0609776；Δ≈0.00618；
例四：在（20000000,40000000）中的素数情况怎么样？
由上例知：π(2×10^7)=1270607，此时的素数发生率=0.06353035；仍然用bi(10^7)=0.9587688，
（20000000,40000000）中的素数发生率=（0.9587688×2-1)×0.06353035=0.05829148，计算素数有1165830个。
实际有π(4×10^7)-π(2×10^7)=2433654-1270607=1163047，计算值的Δ≈0.00239，
例五：已知π(4×10^7)=2433654，计算（40000000,80000000）中素数。
40000000内的素数发生率=2433654/40000000=0.06084135,
（40000000,80000000）中素数发生率=（0.9587688×2-1)×0.06084135=0.055824226，
计算素数：0.055824226×40000000=2232969，
实有素数=π(8×10^7)-π(4×10^7)=4669382-2433654=2235728个，计算值的相对误差Δ≈-0.001234.
以上计算实例的数据表明：
根据(式5)对[x,2x]中素数数量计算值的相对误差是不大的，并且随数的增大，相对误差在逐渐缩小。
从x愈大，bi(x)愈来愈趋近1的计算数据我们可以知道：
大数的时候，[x,2x]中间的素数发生率与x内的素数发生率很接近。
因此担心【x→∞时，由于素数发生率1/logx会愈来愈小，因而造成[x,2x]区域的素数稀疏到几乎没有】是不可能发生的事件！
那么从式(3) x=10^n的素数发生率 1/logx=lge/n=0.4342944819/n ,有人会这么想：
只要x趋向无穷大即x=10^n的n不断增大，素数发生率1/logx=0.4342944819/n 不就可以趋向无穷小了吗？
这里应有一个原则，素数发生率能否趋向无穷小与对象x有关联：
比如：某病的发病率为0.001，对于一个班级、一个学校来说，是微不足道的，但是对于一个大城市来说是比较高的发病率了；
某奖得奖率为百万分之一，对于一个学校的人员来说，概率几乎为0；但是对于面向全国的福利彩票来说，百万分之一的一等奖得奖率是不可能的，太高了！
因此判断素数发生率 1/logx能否趋向于0，必须与x值的大小关联起来。
我认为：
对于一个函数f(x)，如果x→∞，有lim f(x)/x →0；
那么其中有两个情况要区别对待：
1，lim f(x)/x 快速趋向无穷小的：如logx/x ;
对任意的一个小量 ψ(x)=10^-n, （n≤20)
有 x=10^(n+2)能够使得f(x)/x ＜ψ(x)，则limf(x)→∞不成立，f(x)只是有限增大。
由此判断：素数发生率1/logx不能趋向无穷小。
2,lim f(x)/x 缓慢趋向无穷小的：如√x/x;
对任意的一个小量 ψ(x)=10^-n ，有 x≥10^(2n)能够使得f(x)/x ≤ψ(x)，则limf(x)→∞成立。
在这个方面，lim f(x)/x →0的速度是关键。
logx相对于x的增大速度很慢，决定了lim logx/x 必然快速地趋向无穷小。
你达不到宇宙第一速度，是不可能成为环绕地球飞行的卫星的。
当然我们不能割裂logx与x的关联而单独的衡量logx：
对于ψ(x)=0.01，n≥43.43时，有1/log(10^n)＜ψ(x);
对于ψ(x)=0.0001，n≥4343时，有1/log(10^n)＜ψ(x);
因此作出错误的判断：x→∞时有 1/logx →0，或者有 logx→∞。
因为此时的logx相对于x来说，也许不如一条牛身上的一根毛重与牛重的比例，也许不如一条牛身上的一个细胞重量与牛重之比例。
一个业余爱好者之言，仅供参考。有不妥之处，请指正。
希望对大家思考[x,2x]中间的素数发生率问题能够有所帮助。
