“定理1（Penrose,1965c）
如果
（1）对所有零向量K【上标a】，R【下标ab】K【上标a】K【下标b】>=0（参见4.3）；
（2）U’内存在非紧Cauchy曲面H；
（3）U'内存在闭合俘获面T，
则时空（U'，g）不可能是零测地完备的。”
“定理2（Hawking和Penrose（1970））
如果
（1）对每一个非类空向量K，R【下标ab】K【上标a】K【上标b】>=0（参见4.3）；
（2）满足一般条件（4.4），即每条非类空测地线均包含
K【下标“[a”】R【下标“b]cd[e”】K【下标“f]”】K【上标c】K【上标d】不等于0
的一点，这里K是测地线的切向量；
（3）时序条件在U'上成立（即不存在闭合类时曲线）；
（4）至少存在下列条件之一：
（i）无边缘的紧致非时序集；
（ii）闭合俘获面；
（iii）点p，使在自p出发的每一条过去（或每一条未来）零测地线上，自p出发的零测地线的散度θ^变负（即自p出发的零测地线被物质或曲率聚焦，并开始重新汇聚）；
则时空（U'，g）不是类时或零测地完备的。”
“定理3（Hawking（1967））
如果
（1）对每个非类空向量K，R【下标ab】K【上标a】K【上标b】>=0（参见4.3）；
（2）强因果性条件在（U'，g）上成立；
（3）存在p点的某个过去方向的单位类时向量W和正常数b，使得如果V是过p的过去方向的类时测地线的单位切向量，则在每条这样的测地线上，测地线的膨胀θ≡V【上标“a”下标“；a”】将在距离p点b/c内变得小于-3c/b，这里c≡-W【上标a】V【下标a】；
则存在过p的过去不完备非类空测地线。”
“定理4（Hawking（1967））
如果
（1）对每个非类空向量K，R【下标ab】K【上标a】K【上标b】>=0（参见4.3）；
（2）存在紧致类空三维曲面T（无边缘）；
（3）T的单位法线在T上处处收敛（或处处发散）；
则时空不是类时测地完备的。”
————————————————————《时空的大尺度结构》，S.霍金、G.埃利斯著，王文浩译本，第245-255页，第八章“时空奇点”第二节“奇点定理”————————————————————————带着一名佛弟子对求真理者的深切敬意