作者在哥吧上发表了《自然数中，质数合数的分布规律》一文，引起了诸多同行的热烈讨论和点评。其中有一个命题，即N与2N之间有质数存在。据吴名尹先生言，这是一个未经证明的命题，现试证如下。需要说明的是，本文的一些概念来自于上文，最好先读《分布规律》一文，再读本文为好。为了讨论的方便，我们把这个命题简称为2N定理。
一、N的取值范围，N不能取自然数1,1和2之间没有质数可言。所以N必须是大于1的自然数。直观上看，N取2,2和4之间有质数3，N取3,3与6之间有质数5，N取4,4与8之间有质数5,7，N取5,5与10之间有质数7……往后随着N与2N间距的扩大，N与2N之间的质数也会越来越多。所以从直观上看，N与2N间有质数存在是很自然的事。但要证明它，很劳神。
二、首先确定N与2N之间奇数的个数。1到2N的奇数个数是N.。若N为奇数，则1到N的奇数个数是二分之N+1，那么N到2N之间奇数的个数是二分之N-1。若N为偶数，则1到N的奇数个数是二分之N，那么N与2N之间的奇数个数是二分之N。不管哪种计算办法，1到N,N到2N间，奇数的个数是相等的。本文以后所指奇数个数都是按这个方法计算的。
三、有两个相邻的自然数N1与N2，因它们只相差一个自然数，N1与2N1间，N2与2N2间的奇数个数也差一个，或相等。N1与2N1间的质数与N2与2N2之间的质数是一种什么关系呢？。也就是说，若N1与2N1间有质数存在，那么N2与2N2间也有质数存在吗？答案是肯定的。不管我们验证多少案例，这个答案是不容置疑的。也就是说，从第一个N与2N,起，N与2N间的质数一定有一部分传递给下个N与2N..而且一直这样传递下去。如何证明这一点呢?
分两种情况。
1、N1为奇数 ，若N1与2N1之间有质数存在，因N1与N2只相差一个自然数，N2又是偶数，所以N1与2N1之间的质数不可能存在于N2与2N2间N2这个位置上，一定在N2以后。又2N2大于2N1，所以N1与2N1之间的质数一定存在于N2与2N2之间。也就是说在这种情况下，若N1与2N1之间有质数存在，那么N2与2N2之间也一定有质数存在。例如，N1为5,2N1是10，N2是6,2N2是12，N1与2N1间的质数7一定存在于N2与2N2间。
2、N1为偶数，那么N2就是奇数。若N1，N2分别为6,7。N1与2N1间的质数7正好处于N2与2N2的N2上，虽然N1与2N1间另一个质数11一定处于N2与2N2间，但我们只知道N1与2N1有质数存在，但不知道有几个质数，更不知道它们的确切位置，也就是说我们无法证明质数11的存在，在这种情况下证明遇到了困难。虽然这是一种不成功的探索，但我们仍可以据此看出，N与2N间有质数存在，是有其内在原因的。我们把这种不成功的探索放在这里，其目的是供更多的研究这个问题的人们参考，免走弯路。当然，有兴趣者还可以继续研究它。
四、另一种证明方法。
在《分布规律》一文中，有一个定理，即连续合数定理。该定理的意思是说，在自然数中，连续合数，就是中间没有质数的连续合数，可以有无数个。那么如果N与2N之间没有质数，就等于说N与2N间的奇数是连续合数。那么N与2N间的奇数能全部是合数吗？这一问题如果用代数式证明它是相当困难的，起码作者无法做到这一点，我们从逻辑推理中来阐述这一问题。
最小的N与2N是2与4,2与4间有奇数3，为什么3是质数呢？是因为3这个位置还没有出现倍质数合数。最小的倍质数合数是3平方，也就是说3平方前的所有偶数，其N与2N间一定有质数存在。
3平方后的第一个偶数是10，其N是5,2N是10,5与10间的奇数个数，我们可以按2节的方法计算出来，是2个。这两个位置如果没有质数，就是2连合数。此时的这两个位置若有合数，只能有倍3合数，5的有效倍质数合数只有5平方后才有，所以从5平方开始才有可能出现2连合数。所以5平方前的所有偶数，其N与2N间一定有质数存在。
5平方后的第一个偶数是26，其N是13,2N是26，有6个奇数位置，3,5两个质数的倍质数合数是无法形成6连合数的。只有出现7的有效倍质数合数时才有可能形成6连合数。所以7平方前的N与2N间一定有质数存在。
从上述讨论中可以看出，随着从a平方扩展到b平方，虽然质数增加了一个，增加了形成多连合数的可能性，但奇数空间几乎是成倍数增加或超倍数增加，又使这种可能成为永远无法实现的事。也就是说N与2N间一定永远有质数存在。
下面我们列表来看这种变化趋势。
质数平方 平方后第一个偶数2N N N与2N间的奇数个数
3平方9 10 5 2
5平方25 26 13 6
7平方49 50 25 12
11平方121 122 61 30
13平方169 170 85 42
17平方289 290 145 72
19平方361 362 181 90
从这张表上可以看出，从a平方扩展到b平方，质数只增加了一个，而奇数空间成倍增加，从而这些质数所形成的有效倍质数合数不会占满N到2N的奇数空间。而且越往后，这种趋势越明显。就是说N与2N间永远有质数存在。
五、2N定理一旦成立，那么最小倍质数合数内有质数存在，a方与b方间有质数存在就没有必要一一再证明了。2N定理对于理解数的对衬性，及作者对于猜想的证明是有帮助的。凡研究过猜想的人，恐怕都曾思考过这个问题。
一、N的取值范围，N不能取自然数1,1和2之间没有质数可言。所以N必须是大于1的自然数。直观上看，N取2,2和4之间有质数3，N取3,3与6之间有质数5，N取4,4与8之间有质数5,7，N取5,5与10之间有质数7……往后随着N与2N间距的扩大，N与2N之间的质数也会越来越多。所以从直观上看，N与2N间有质数存在是很自然的事。但要证明它，很劳神。
二、首先确定N与2N之间奇数的个数。1到2N的奇数个数是N.。若N为奇数，则1到N的奇数个数是二分之N+1，那么N到2N之间奇数的个数是二分之N-1。若N为偶数，则1到N的奇数个数是二分之N，那么N与2N之间的奇数个数是二分之N。不管哪种计算办法，1到N,N到2N间，奇数的个数是相等的。本文以后所指奇数个数都是按这个方法计算的。
三、有两个相邻的自然数N1与N2，因它们只相差一个自然数，N1与2N1间，N2与2N2间的奇数个数也差一个，或相等。N1与2N1间的质数与N2与2N2之间的质数是一种什么关系呢？。也就是说，若N1与2N1间有质数存在，那么N2与2N2间也有质数存在吗？答案是肯定的。不管我们验证多少案例，这个答案是不容置疑的。也就是说，从第一个N与2N,起，N与2N间的质数一定有一部分传递给下个N与2N..而且一直这样传递下去。如何证明这一点呢?
分两种情况。
1、N1为奇数 ，若N1与2N1之间有质数存在，因N1与N2只相差一个自然数，N2又是偶数，所以N1与2N1之间的质数不可能存在于N2与2N2间N2这个位置上，一定在N2以后。又2N2大于2N1，所以N1与2N1之间的质数一定存在于N2与2N2之间。也就是说在这种情况下，若N1与2N1之间有质数存在，那么N2与2N2之间也一定有质数存在。例如，N1为5,2N1是10，N2是6,2N2是12，N1与2N1间的质数7一定存在于N2与2N2间。
2、N1为偶数，那么N2就是奇数。若N1，N2分别为6,7。N1与2N1间的质数7正好处于N2与2N2的N2上，虽然N1与2N1间另一个质数11一定处于N2与2N2间，但我们只知道N1与2N1有质数存在，但不知道有几个质数，更不知道它们的确切位置，也就是说我们无法证明质数11的存在，在这种情况下证明遇到了困难。虽然这是一种不成功的探索，但我们仍可以据此看出，N与2N间有质数存在，是有其内在原因的。我们把这种不成功的探索放在这里，其目的是供更多的研究这个问题的人们参考，免走弯路。当然，有兴趣者还可以继续研究它。
四、另一种证明方法。
在《分布规律》一文中，有一个定理，即连续合数定理。该定理的意思是说，在自然数中，连续合数，就是中间没有质数的连续合数，可以有无数个。那么如果N与2N之间没有质数，就等于说N与2N间的奇数是连续合数。那么N与2N间的奇数能全部是合数吗？这一问题如果用代数式证明它是相当困难的，起码作者无法做到这一点，我们从逻辑推理中来阐述这一问题。
最小的N与2N是2与4,2与4间有奇数3，为什么3是质数呢？是因为3这个位置还没有出现倍质数合数。最小的倍质数合数是3平方，也就是说3平方前的所有偶数，其N与2N间一定有质数存在。
3平方后的第一个偶数是10，其N是5,2N是10,5与10间的奇数个数，我们可以按2节的方法计算出来，是2个。这两个位置如果没有质数，就是2连合数。此时的这两个位置若有合数，只能有倍3合数，5的有效倍质数合数只有5平方后才有，所以从5平方开始才有可能出现2连合数。所以5平方前的所有偶数，其N与2N间一定有质数存在。
5平方后的第一个偶数是26，其N是13,2N是26，有6个奇数位置，3,5两个质数的倍质数合数是无法形成6连合数的。只有出现7的有效倍质数合数时才有可能形成6连合数。所以7平方前的N与2N间一定有质数存在。
从上述讨论中可以看出，随着从a平方扩展到b平方，虽然质数增加了一个，增加了形成多连合数的可能性，但奇数空间几乎是成倍数增加或超倍数增加，又使这种可能成为永远无法实现的事。也就是说N与2N间一定永远有质数存在。
下面我们列表来看这种变化趋势。
质数平方 平方后第一个偶数2N N N与2N间的奇数个数
3平方9 10 5 2
5平方25 26 13 6
7平方49 50 25 12
11平方121 122 61 30
13平方169 170 85 42
17平方289 290 145 72
19平方361 362 181 90
从这张表上可以看出，从a平方扩展到b平方，质数只增加了一个，而奇数空间成倍增加，从而这些质数所形成的有效倍质数合数不会占满N到2N的奇数空间。而且越往后，这种趋势越明显。就是说N与2N间永远有质数存在。
五、2N定理一旦成立，那么最小倍质数合数内有质数存在，a方与b方间有质数存在就没有必要一一再证明了。2N定理对于理解数的对衬性，及作者对于猜想的证明是有帮助的。凡研究过猜想的人，恐怕都曾思考过这个问题。
