现在吧里的重心已经由狭相转向了广相，是一件令人高兴的事情，标志着本吧理论水平的前进。
回想几年前，为一个双生子争吵几个月的时代已经过去了，现在对于拿双生子说事儿的质疑者基本上不再有人理睬。
众所周知，广相不好学，概念抽象，数学艰涩，广大“民间科学家”的触角之所以很少涉及广相，正是被其庞大的数学形式阻挡，于是都拿狭相说事，狭相的数学形式看上去比较大众化，随便一个中学毕业的人都敢胡乱理解一下洛仑兹变换然后来说事。
我对广相，一直以来始终是一知半解，因为以前做学生时，没有开过这门课，这个东东离我的专业过于遥远，舍不得花时间去深究。但前段时间听一位工科教授说现在流行用微分几何建模工学问题，于是觉得更多的了解一下这个东东也许对我的专业会有用处，于是总是抽些时间来学习，写下一些个人的感悟，希望吧内广相专家批评以便我的提高，另外也希望对初学者有些帮助（希望不是误导）。
首先我想告诉大家，欲学广相，先学古典微分几何。
很多人知道，要学广相，必须先学黎曼几何，事实上，对大部分人来说，直接学黎曼几何很难，因为大部分人并未达到直接学习它的程度。
古典微分几何指的是黎曼以前的那部分微分几何，就是高斯的那些东西，这些东西只要具备了大学数学的基础，就可以学习。
古典微分几何主要的研究对象是三维欧氏空间中的曲面和曲线，这都是现实中存在的实体，较容易理解。
当你了解了所谓的曲面第一基本型，第二基本型，法曲率，总曲率，测地曲率，还有那个著名的“高斯绝妙定理”等等这些，再去看黎曼流形，就会轻松很多。
黎曼几何基本掌握以后，广相也就不剩下什么了，广相使用的洛仑兹流形是黎曼几何的简单情形，稍微需要注意的是洛仑兹流形没有黎曼空间中度规的正定性的限制，这种空间又被称之为“伪黎曼空间”，伪黎曼空间和黎曼空间的区别非常类似于伪欧空间（最重要的一个实例是闵可夫斯基空间）和真欧空间（也就是欧氏空间）的区别。
爱因斯坦建立广相用了10年（1905-1915），其中大部分的时间用在黎曼几何的学习上。
还有比黎曼几何更为一般的几何：芬斯勒几何，感兴趣的可以去看。
从古典微分几何中有很多概念和黎曼几何是共通的，事实上黎曼几何正是将古典微分几何中的概念向高维外推得到，很多概念推广到高维是极其抽象的，很多概念可能你看了半天都不知道它在说什么，但其在古典微分几何中对应的概念却并不抽象，从这里学起，会容易很多。
弯曲空间中一个很重要的概念是矢量平移，本贴我谈谈这个问题。
弯曲空间，之所以称之为“弯曲”是因为其黎曼张量不为0，黎曼张量是使用联络定义的，联络简单的说是包含了普通微分和克氏记号的一个东东，联络告诉我们，弯曲空间中不同的位置的矢量如何相减，在平直空间中，可通过平移让不同位置的两个矢量始端重合，然后可以使用三角形法则相减，笛卡尔坐标系中就是直接对矢量坐标相减即可，但弯曲空间中，我们不知道该如何去“平移”一个矢量，直接进行坐标相减是不可以的，那样得到的将不是一个与坐标系无关的量（张量），它的坐标不能够随着坐标系的变换而协同变换(只有具有这样性质的量才是一个确定的数学量)，所以这样得到结果是没有意义的。
古典微分几何中，为曲面的矢量定义了一个平移的方法，可以保证矢量经过平移，仍属于曲面，同时也保证了在这样的平移下的矢量相减，得到的是一个与坐标系无关的确定的矢量。
其实很简单，因为我们有更高维的R3这个欧式空间可以利用，我们将矢量在欧氏空间R3中沿曲面上某条曲线作一个无限小的普通平移，然后将其在新位置的切平面上投影，得到的新矢量就仍然属于曲面，我们略去了曲面法向的部分，因为这部分不属于曲面，连续实施这种无限小平移，便可以使矢量在曲面上移动到任意的位置，这样定义的操作便成为曲面上矢量的平移。
也许有人会注意到，每次进行无限小平移后，都要进行投影，这个投影会导致矢量的模会减小一点点(也是一个无穷小)，那么矢量经过一个有限的平移，减小的部分是否会积累成一个有限的数量？模还能保持不变吗？答案是肯定的，因为减少的部分是移动路径ds的高阶无穷小，微积分学告诉我们，所有积分变量的高阶无穷小对积分的贡献都精确的等于0。
经过推导，我们可以得到曲面上矢量T^a从曲面上P点到Q点平移的公式为：
T^a(P->Q)=T^a(P)-Γ^a_i_j*T^i*dx^j
与之相应的，就可以定义不同位置的矢量如何做微分，这种微分叫做绝对微分：
D(T^a)=dT^a+Γ^a_i_j*T^i*dx^j
再对比全微分公式，还能得到与绝对微分相应的偏导数，用张量识别定理可以得出它是一个张量，由于它比原矢量T^a多了一个协变指标，因而叫作协变导数：
▽_j(T^a)=6T^a/6x^j+Γ^a_i_j*T^i
(6为偏微分符号）
上述定义在曲面中得出，曲面是一个2维的黎曼空间，各指标取1，2，若令指标取1，2...n,则上述定义可以推广到n维的黎曼空间中，这就是levi-civita平移。
值得注意的是，曲面中，我们借助了R3这个欧氏空间来完成平移的定义，但是平移公式却和R3毫无关系，平移公式仅仅取决于曲面的第一基本型，与R3无关。
所以，在n维的黎曼空间中，我们不需要知道这个空间是否包容以及怎样包容在一个更高维的欧氏空间中，就可以完成这个平移的定义。
顺便说一句：对n维的黎曼空间，必存在1/2n(n+1)维的欧氏空间包容它，使它成为这个欧氏空间中的超曲面，广义相对论中的4维(伪)黎曼空间必然包容在一个10维的欧氏空间中.
最后出一个小题，作为你是否理解本文的测试：
利用文中提到的公式写出测地线方程（测地线是这样一种曲线：曲线上的单位切矢量沿本曲线的绝对微分恒为0）
(完)
回想几年前，为一个双生子争吵几个月的时代已经过去了，现在对于拿双生子说事儿的质疑者基本上不再有人理睬。
众所周知，广相不好学，概念抽象，数学艰涩，广大“民间科学家”的触角之所以很少涉及广相，正是被其庞大的数学形式阻挡，于是都拿狭相说事，狭相的数学形式看上去比较大众化，随便一个中学毕业的人都敢胡乱理解一下洛仑兹变换然后来说事。
我对广相，一直以来始终是一知半解，因为以前做学生时，没有开过这门课，这个东东离我的专业过于遥远，舍不得花时间去深究。但前段时间听一位工科教授说现在流行用微分几何建模工学问题，于是觉得更多的了解一下这个东东也许对我的专业会有用处，于是总是抽些时间来学习，写下一些个人的感悟，希望吧内广相专家批评以便我的提高，另外也希望对初学者有些帮助（希望不是误导）。
首先我想告诉大家，欲学广相，先学古典微分几何。
很多人知道，要学广相，必须先学黎曼几何，事实上，对大部分人来说，直接学黎曼几何很难，因为大部分人并未达到直接学习它的程度。
古典微分几何指的是黎曼以前的那部分微分几何，就是高斯的那些东西，这些东西只要具备了大学数学的基础，就可以学习。
古典微分几何主要的研究对象是三维欧氏空间中的曲面和曲线，这都是现实中存在的实体，较容易理解。
当你了解了所谓的曲面第一基本型，第二基本型，法曲率，总曲率，测地曲率，还有那个著名的“高斯绝妙定理”等等这些，再去看黎曼流形，就会轻松很多。
黎曼几何基本掌握以后，广相也就不剩下什么了，广相使用的洛仑兹流形是黎曼几何的简单情形，稍微需要注意的是洛仑兹流形没有黎曼空间中度规的正定性的限制，这种空间又被称之为“伪黎曼空间”，伪黎曼空间和黎曼空间的区别非常类似于伪欧空间（最重要的一个实例是闵可夫斯基空间）和真欧空间（也就是欧氏空间）的区别。
爱因斯坦建立广相用了10年（1905-1915），其中大部分的时间用在黎曼几何的学习上。
还有比黎曼几何更为一般的几何：芬斯勒几何，感兴趣的可以去看。
从古典微分几何中有很多概念和黎曼几何是共通的，事实上黎曼几何正是将古典微分几何中的概念向高维外推得到，很多概念推广到高维是极其抽象的，很多概念可能你看了半天都不知道它在说什么，但其在古典微分几何中对应的概念却并不抽象，从这里学起，会容易很多。
弯曲空间中一个很重要的概念是矢量平移，本贴我谈谈这个问题。
弯曲空间，之所以称之为“弯曲”是因为其黎曼张量不为0，黎曼张量是使用联络定义的，联络简单的说是包含了普通微分和克氏记号的一个东东，联络告诉我们，弯曲空间中不同的位置的矢量如何相减，在平直空间中，可通过平移让不同位置的两个矢量始端重合，然后可以使用三角形法则相减，笛卡尔坐标系中就是直接对矢量坐标相减即可，但弯曲空间中，我们不知道该如何去“平移”一个矢量，直接进行坐标相减是不可以的，那样得到的将不是一个与坐标系无关的量（张量），它的坐标不能够随着坐标系的变换而协同变换(只有具有这样性质的量才是一个确定的数学量)，所以这样得到结果是没有意义的。
古典微分几何中，为曲面的矢量定义了一个平移的方法，可以保证矢量经过平移，仍属于曲面，同时也保证了在这样的平移下的矢量相减，得到的是一个与坐标系无关的确定的矢量。
其实很简单，因为我们有更高维的R3这个欧式空间可以利用，我们将矢量在欧氏空间R3中沿曲面上某条曲线作一个无限小的普通平移，然后将其在新位置的切平面上投影，得到的新矢量就仍然属于曲面，我们略去了曲面法向的部分，因为这部分不属于曲面，连续实施这种无限小平移，便可以使矢量在曲面上移动到任意的位置，这样定义的操作便成为曲面上矢量的平移。
也许有人会注意到，每次进行无限小平移后，都要进行投影，这个投影会导致矢量的模会减小一点点(也是一个无穷小)，那么矢量经过一个有限的平移，减小的部分是否会积累成一个有限的数量？模还能保持不变吗？答案是肯定的，因为减少的部分是移动路径ds的高阶无穷小，微积分学告诉我们，所有积分变量的高阶无穷小对积分的贡献都精确的等于0。
经过推导，我们可以得到曲面上矢量T^a从曲面上P点到Q点平移的公式为：
T^a(P->Q)=T^a(P)-Γ^a_i_j*T^i*dx^j
与之相应的，就可以定义不同位置的矢量如何做微分，这种微分叫做绝对微分：
D(T^a)=dT^a+Γ^a_i_j*T^i*dx^j
再对比全微分公式，还能得到与绝对微分相应的偏导数，用张量识别定理可以得出它是一个张量，由于它比原矢量T^a多了一个协变指标，因而叫作协变导数：
▽_j(T^a)=6T^a/6x^j+Γ^a_i_j*T^i
(6为偏微分符号）
上述定义在曲面中得出，曲面是一个2维的黎曼空间，各指标取1，2，若令指标取1，2...n,则上述定义可以推广到n维的黎曼空间中，这就是levi-civita平移。
值得注意的是，曲面中，我们借助了R3这个欧氏空间来完成平移的定义，但是平移公式却和R3毫无关系，平移公式仅仅取决于曲面的第一基本型，与R3无关。
所以，在n维的黎曼空间中，我们不需要知道这个空间是否包容以及怎样包容在一个更高维的欧氏空间中，就可以完成这个平移的定义。
顺便说一句：对n维的黎曼空间，必存在1/2n(n+1)维的欧氏空间包容它，使它成为这个欧氏空间中的超曲面，广义相对论中的4维(伪)黎曼空间必然包容在一个10维的欧氏空间中.
最后出一个小题，作为你是否理解本文的测试：
利用文中提到的公式写出测地线方程（测地线是这样一种曲线：曲线上的单位切矢量沿本曲线的绝对微分恒为0）
(完)
