§收敛和加减乘除§
某数列是不是收敛到一个极限上，应用柯西的收敛条件就知道了。但是数列的收敛速度是不一样的。
比方说数列an=1/n和数列bn=1/n²都收敛于0，其极限分别是lim(n→∞)1/n=0，lim(n→∞)1/n²=0，但是收敛的速度不同，数列1/n²收敛得快。
如果在0附近建立宽度为0.01的“阵地”，则数列1/n进入这个阵地的数是从101号开始，而数列1/n²进入这个阵地的数是从11号开始。
也就是说对于相同的ε，规定的号码N越小，收敛得越迅速。
不仅是收敛的速度，而且收敛的方法也多种多样。
柯西也注意了接近a的种种方法，不限定于增加的数列，也不限定于减少的数列，也有一边摆动一边接近a的数列，如图10-20所示。
以摆动为例，柯西给出了数列：
1/4,1/3,1/6,1/5,1/8,1/7,…
有时有必要把这些按各种方式变化的数列进行加或减，但作为计算基础来说，必须证明几个法则。
在算术和代数中规定+，-，×，÷的几个基本法则为基础进行计算。可是因为现在出现了新的lim的运算，所以应该先弄清lim和+，-，×，÷之间的关系。
有两个收敛数列an和bn，设a和b是数列an和bn的极限。
lim(n→∞)an=a，lim(n→∞)bn=b
那么数列an+bn是一个什么样的数列呢？这里假定an和bn的收敛速度是任意的。
如果an=1/n，bn=1/n²，则收敛速度完全不同，不言而喻这种情况也包含在内。
设数列an在x轴上移动，数列bn在y轴上移动。此时，数列an从某号数开始进入一个以a为中心，左右为ε的狭窄的区间。数列bn也一样，于是坐标为(an，bn)的点，进入一个以(a，b)为中心的正方形内，如图10-22。
如果把这点用45°的平行线在x轴上投影，则变成an加bn，这就进入以a+b为中心，左右具有2ε宽度的区间。
因为2ε可以任意小，所以根据柯西的收敛条件知，数列an+bn收敛于a+b。
lim(n→∞)(an+bn)=a+b=lim(n→∞)an+lim(n→∞)bn
同样
lim(n→∞)(an-bn)=a-b=lim(n→∞)an-lim(n→∞)bn
乘法只要证明lim(n→∞)anbn=ab即可，这是因为我们都知道，表示anbn的长方形面积位于外侧的长方形和内侧的长方形之间。
外侧的长方形：
(a+ε) ×(b+ε)=ab+ε(a+b)+ε²
内侧的长方形：
(a-ε) ×(b-ε)=ab-ε(a+b)+ε²
因为ε取的值任意接近0，所以两个公式的计算结果都接近于ab，因此夹在中间的anbn也接近于an，如图10-23所示。
下面讨论bn/an，这里先规定a不为0，如果a等于0，定理是不成立的。
此时因为bn/an的趋势是位于(b+ε)/(a-ε)，(b-ε)/(a+ε)之间，可以知道仍然接近b/a，如图10-24所示。
归纳以上结果得到如下结论：
lim(an+bn)=liman+limbn
lim(an-bn)=liman-limbn
limanbn=liman×limbn
lim(bn/an)=limbn/liman(注意liman≠0)
到现在为止，+，-，×，÷和新加入的lim运算的关系可以用如下语言表示，那就是在数列运算过程中，首先进行+，-，×，÷的运算，然后进行lim运算的计算结果和首先进行lim的运算，然后进行+，-，×，÷运算的计算结果是相等的。
总之，可以变换+，-，×，÷和lim的运算顺序。
插
