牟合方盖是一种几何体，是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因为像是两个方形的盖子合在一起，所以被称作“牟合方盖”。
祖冲之使用的方法正是通过计算出牟合方盖的体积为，从而推出了球体体积的计算公式。
据说是刘徽先提出这个几何体的，他发现九章算术里球的体积公式是错的，想通过它来求球的体积公式，但是刘徽始终没有算出来。“观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”刘徽等了200多年，终于等到了“能言者”，祖冲之和他儿子祖暅终于解决了牟合方盖的体积，并发现了祖氏原理：缘幂势既同，则积不容异。
查了一下它的表面展开图，

.绘制牟合方盖
绘制柱面x2 + y2 = R2与柱面x2 + z2 =R2所围立体在x-y平面上半部分曲面。由第二个方程解出z，得

则可以画出对应的曲面，当画四分之一，八分之一曲面时，只需设置r与t的范围就可以了。

祖暅方法：祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算。由于没有微积分，祖暅用一种等效的方法来计算。

他的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一），设 OP = h，过 P 点作平面 PQRS 平行于 OABC。又设内切球体的半径为 r，则 OS = OQ = r，由勾股定理有
，故此正方形 PQRS 面积是
。如果将图一的立体放在一个边长为 r 的正立方体之内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于h 2。（如图三）设由方锥顶点至方锥截面的高度为h，不难发现对于任何的h，方锥截面面积也必为h 2。由此可知，在等高处，图二中阴影部分的面积与图三中倒立的正立方锥体的横切面的面积总相等。所以，有理由相信，虽然方锥跟小正立方体去掉小“牟合方盖”后的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积相等。所以V牟=V正-V锥。