《数学课程标准》指出：“……强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程，使学生获得数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”因此，数学建模在数学教育中显得尤为重要。
一、数学模型与数学建模
什么是数学模型呢？按照徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中的提法，可以这样解释：所谓数学模型，是针对或参照某种事物的特征或数量关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。数学模型还可广义解释为：凡一切数学概念、数学理论、各种数学公式、各种方程（代数方程、函数方程、微分方程、积分方程……）以及由公式系列构成的算法系统都可称之为数学模型。
数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，大致可用如下框图来说明：
在以上过程中，最关键的也是学生最感困难的就是第一步：即由实际问题→数学模型。
二、学生把实际问题抽象成数学模型中存在的一些困难
1、缺乏解决问题的自信心，有畏难心理
与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，学生在面对一大堆非形式化的材料，感到很茫然，不知从何下手，产生惧怕数学应用题的心理。如在信息的吸收过程中，受过多干扰语句的影响，读不懂题目；在信息的加工处理过程中，受自身阅读分析能力以及数学基础知识的掌握程度的影响，即使读懂题目，也无法把应用题中包含的数学对象间的复杂关系线性化，从而无法解题；在信息的提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，无法把实际问题与对应的数学模型联系起来。一旦学生产生畏难心理，只要看到阅读量大的题目，连阅读的兴趣都丧失了，采取的行动总是放弃。
2、不理解实际问题中一些术语，不理解题意
由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，学生与这些术语有关的生活经验较少，不理解术语的含义，从而读不懂题目，更无法正确理解题意。例如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、贸易顺差、贸易逆差、盖帽等概念，如果这些基本的概念都搞不懂，那么涉及这些概念的实际问题就无法正确理解题意，更谈不上解决问题。
例如，我国个人所得税法规定，公民全月的工资、薪金收入不超过800元不必纳税；超过800元的部分为全月应纳税所得额（应该纳税的工资、薪金收入），此项税款按下表分段进行计算：
全月应纳税额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
……
……
小明的爸爸二月份缴纳工资、薪金所得税120元，你知道小明的爸爸二月份的工资、薪金是多少吗？
本问题中学生不太熟悉的名词术语是：全月应纳税额、税率。由于本题是函数中的分段函数，学生不理解工资、薪金的哪部分纳税时的税率是10%，15%对应的又是哪部分，而是把所有的工资、薪金收入除去800元后，不超过500元按5%纳税，超过500元不超过2000元都按10%纳税，而不知道要逐级纳税。这就是学生读不懂题目，不理解题意所产生的错解。
3、不会采取有效的方法处理实际问题中复杂的数据
在许多实际问题中，涉及到的数据多且杂乱，学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手，不知该把哪个数据作为思维的起点，从而找不到解决问题的突破口。
例如，某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆。现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元。现要求运费不超过900元，问有几种调运方案？
在此问题中，涉及到甲、乙仓库农用车的辆数，A、B两县农用车的需求量，从甲仓库调运到A、B的费用，从乙仓库调运到A、B的费用，总运费，在这诸多的量中，许多学生不会采取有效的方法梳理这些量的关系，从而正确用这些已知量解决问题。
4、缺乏把实际问题转化为数学问题经验
数学模式呈现的形式是多种多样的，有的以函数显示，有的以方程显示，有的以图形显示，有的以不等式显示，有的以概率统计显示。当然，还有其他各种形式的模型，对于一个实际问题，运用哪类数学知识，用什么数学方法来解决问题，是学生深感困难的一个环节。
例如，《李白买酒》李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花加一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？
根据调查结果，学生阅读了此题目后，问其联想到了什么数学知识，许多学生答不出来，其主要原因就是学生存在把文字语言转换为数学语言的障碍。数学语言主要指数学文字语言、图形语言和符号语言，是数学区别于其他学科的显著特征。数学语言简练、抽象、严谨，许多学生过不了数学语言关，符号化意识弱，不能把文字语言转化成数学语言，从而无法将实际问题抽象成数学问题。
三、克服数学建模困难的教学策略
1、激发学习兴趣，增强学生解决问题的自信心
一个人的自信心是他能有效地进行学习的基础，更是他将来能适应经济时代的必备心理素质，基于这样一个事实，许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标。因此，在平时的教学中，应加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，并在此过程中获得足够的自信。
例如，某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、Y排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时Y洗衣机中的水量Y（升）与时间X（分钟）之间的关系如图O415X根据图象回答下列问题
洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？
已知洗衣机的排速度为每分钟19升，①求排水时Y与X的关系式。②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量。
这是一个学生非常熟悉的事例，但学生从没有深入研究，因此，激起了学生强烈的好奇心和争胜欲，学生们都兴致勃勃地地投入了问题的解决。其实在我们的生活中有许多数学问题，学生可以根据已学过的知识和生活中积累下来的经验来构建数学模型，解决数学问题。只要教师在教学中注意联系身边的事物，创设学生感兴趣的熟悉的问题情境，让学生体验数学，品尝成功的乐趣，对激发学生的数学兴趣、培养学生的数学应用意识以及解决实际问题的自信心是非常有效的。
2、强化学生“数学地”阅读、提高理解的能力
苏联著名教育家斯托利亚尔指出：“数学教学就是数学语言的教学”。因此，从语言学习的角度出发，数学教学也必须重视数学阅读。作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力，还要注重教给学生科学有效的数学阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性，使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处，从而在兴趣及利益的驱动下，自觉主动地进行数学阅读。
强化学生阅读理解能力的培养，可从以下几个方面入手：（1）让学生学会说题。所谓说题，就是让学生通过阅读题目后，进行分析思考，说出题目所提供的信息条件，现象过程，解题思路及采用的规律方法等等。教学中可让学生通览全题说题目要素；也可让学生剖析字句，说题目条件；还可让学生形成解题思路后，说解题步骤等。（2）组织适当的课堂讨论。课堂讨论常常需要教师给出所要解决的问题，学生在独立思考的基础上，以小组或班级的形式围绕议题发表见解、互相讨论。实践表明，课堂讨论为师生之间、同学之间的多向交流提供了一个很好的环境。讨论时学生独立活动的自由度增大，可以运用数学语言进行提问、反驳、论证、收集资料、统计数据等多种活动，并与别人的思想进行比较，以达到更深层次的理解和掌握。因此，课堂讨论不仅适合培养学生的交流能力，还有助于激发学生的学习兴趣、增进对知识的理解。（3）创造写数学的机会。让学生“写数学”，就是要学生把他们学习数学的心得体会、反思和研究结果用文字的形式表达出来，并进行交流。例如，可让学生写知识小结、解题反思、调查报告和小论文等等。这样做不仅可以提高学生的数学写作、阅读和理解能力，而且可以进一步提高学生的数学学习水平与探索研究的能力。
3、构建知识网络，强化从整体的角度选择思维起点的能力
数学实际问题最突出的特点是数据多，变量符号（字母）多，数量关系隐蔽，而且数据具有“生活实际”的本来面目。并非“纯数学化”的数据。学生对数据的感悟能力较差，对已知与所求之间的数量关系比较模糊，如果从局部入手，则头绪纷繁，不易突破，但若能从客观上进行整体分析，抓住问题的框架结构和本质关系，常能出奇制胜，找到解决问题的方法。具体地讲可以运用结构数据表格整合信息，理顺数量之间的关系，从而建立相应的数学结构，突显数学“建模”。
例如，在上面调运农用车的问题中，设甲仓库调往A县X辆农用车，整体分析的结果可以用一表格直观地表示如下：
原有农用车（辆）
调往A县的农用车（辆）
调往A县的农用车的费用（元）
调往B县的农用车（辆）
调往B县的农用车的费用（元）
甲仓库
12
X
40
12-X
80
已仓库
6
10-X
30
6-（10-X）
50
4、加强学生“数感”的培养
要使学生学会从现实情境中提出问题，从一个复杂的情境中提出问题，构建数学模型，就需要具备一定的数感。数感的培养可从以下几个方面入手：（1）收集数据，理解大数的意义。（2）合理估算，形成数感。学生数感的建立不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的。在数的概念教学中应发展学生的数感。如在认识数的过程中，可让学生说一说自己的学号、住宅的门牌号码、自行车的号码，或估计1页书有多少字、1把黄豆有多少粒等，让学生在对具体数量的感知与体验中建立数感。另外在数的运算教学中加强数感的培养。随着学习的深入，有必要呈现复杂的情境，引导学生建立数学模型，加强数感的培养。如在学生认识大数后，可出示问题：设计一种皮箱，刚好能装100万元人民币。这时学生的思维被激活了，通过小组合作和全班交流，学会了根据实际问题的背景去选择运算方式，并对数据有了更深的认识和感受。（3）数学地思考问题，拓展数感。如在学习了“100万有多大”后，让学生结合实例说说100万有多大？到同学家做客，会估计客厅、卧室的面积有多少平方米等。我们不但要使学生会用数学解决与数学有关的问题，而且要试图让学生用数学的观点和方法来处理和解决一些看似与数学无关的问题，即学会数学地思考问题。
5、加强数学语言能力的培养
对学生数学语言能力的培养包括两方面内容：一是掌握数学语言，包括：接受----看或听得懂，能识别、理解、解释弄清数学问题的语言表达，并能转化为具体的数学思想，能用自己的语言复述、表达；表达----写或讲得出，能将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程用恰当的数学语言准确流畅地表达出来，并且在表达中名词、术语规范、准确、合乎逻辑。二是帮助学生掌握好非数学语言与数学语言之间、各种数学语言的互译、转化工作。
综上所述，培养学生解决实际问题的能力，关键是要培养学生的建模能力，即把实际问题转化为数学问题的能力，而提高这一能力，需要教师平时结合教学内容尽可能创设一种生动、有趣、贴近学生生活的情境，让学生在数学建模的过程中感受数学的价值，真正喜欢数学，使不同的人在数学上得到不同的发展。
一、数学模型与数学建模
什么是数学模型呢？按照徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中的提法，可以这样解释：所谓数学模型，是针对或参照某种事物的特征或数量关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。数学模型还可广义解释为：凡一切数学概念、数学理论、各种数学公式、各种方程（代数方程、函数方程、微分方程、积分方程……）以及由公式系列构成的算法系统都可称之为数学模型。
数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，大致可用如下框图来说明：
在以上过程中，最关键的也是学生最感困难的就是第一步：即由实际问题→数学模型。
二、学生把实际问题抽象成数学模型中存在的一些困难
1、缺乏解决问题的自信心，有畏难心理
与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，学生在面对一大堆非形式化的材料，感到很茫然，不知从何下手，产生惧怕数学应用题的心理。如在信息的吸收过程中，受过多干扰语句的影响，读不懂题目；在信息的加工处理过程中，受自身阅读分析能力以及数学基础知识的掌握程度的影响，即使读懂题目，也无法把应用题中包含的数学对象间的复杂关系线性化，从而无法解题；在信息的提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，无法把实际问题与对应的数学模型联系起来。一旦学生产生畏难心理，只要看到阅读量大的题目，连阅读的兴趣都丧失了，采取的行动总是放弃。
2、不理解实际问题中一些术语，不理解题意
由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，学生与这些术语有关的生活经验较少，不理解术语的含义，从而读不懂题目，更无法正确理解题意。例如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、贸易顺差、贸易逆差、盖帽等概念，如果这些基本的概念都搞不懂，那么涉及这些概念的实际问题就无法正确理解题意，更谈不上解决问题。
例如，我国个人所得税法规定，公民全月的工资、薪金收入不超过800元不必纳税；超过800元的部分为全月应纳税所得额（应该纳税的工资、薪金收入），此项税款按下表分段进行计算：
全月应纳税额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
……
……
小明的爸爸二月份缴纳工资、薪金所得税120元，你知道小明的爸爸二月份的工资、薪金是多少吗？
本问题中学生不太熟悉的名词术语是：全月应纳税额、税率。由于本题是函数中的分段函数，学生不理解工资、薪金的哪部分纳税时的税率是10%，15%对应的又是哪部分，而是把所有的工资、薪金收入除去800元后，不超过500元按5%纳税，超过500元不超过2000元都按10%纳税，而不知道要逐级纳税。这就是学生读不懂题目，不理解题意所产生的错解。
3、不会采取有效的方法处理实际问题中复杂的数据
在许多实际问题中，涉及到的数据多且杂乱，学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手，不知该把哪个数据作为思维的起点，从而找不到解决问题的突破口。
例如，某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆。现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元。现要求运费不超过900元，问有几种调运方案？
在此问题中，涉及到甲、乙仓库农用车的辆数，A、B两县农用车的需求量，从甲仓库调运到A、B的费用，从乙仓库调运到A、B的费用，总运费，在这诸多的量中，许多学生不会采取有效的方法梳理这些量的关系，从而正确用这些已知量解决问题。
4、缺乏把实际问题转化为数学问题经验
数学模式呈现的形式是多种多样的，有的以函数显示，有的以方程显示，有的以图形显示，有的以不等式显示，有的以概率统计显示。当然，还有其他各种形式的模型，对于一个实际问题，运用哪类数学知识，用什么数学方法来解决问题，是学生深感困难的一个环节。
例如，《李白买酒》李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花加一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？
根据调查结果，学生阅读了此题目后，问其联想到了什么数学知识，许多学生答不出来，其主要原因就是学生存在把文字语言转换为数学语言的障碍。数学语言主要指数学文字语言、图形语言和符号语言，是数学区别于其他学科的显著特征。数学语言简练、抽象、严谨，许多学生过不了数学语言关，符号化意识弱，不能把文字语言转化成数学语言，从而无法将实际问题抽象成数学问题。
三、克服数学建模困难的教学策略
1、激发学习兴趣，增强学生解决问题的自信心
一个人的自信心是他能有效地进行学习的基础，更是他将来能适应经济时代的必备心理素质，基于这样一个事实，许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标。因此，在平时的教学中，应加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，并在此过程中获得足够的自信。
例如，某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、Y排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时Y洗衣机中的水量Y（升）与时间X（分钟）之间的关系如图O415X根据图象回答下列问题
洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？
已知洗衣机的排速度为每分钟19升，①求排水时Y与X的关系式。②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量。
这是一个学生非常熟悉的事例，但学生从没有深入研究，因此，激起了学生强烈的好奇心和争胜欲，学生们都兴致勃勃地地投入了问题的解决。其实在我们的生活中有许多数学问题，学生可以根据已学过的知识和生活中积累下来的经验来构建数学模型，解决数学问题。只要教师在教学中注意联系身边的事物，创设学生感兴趣的熟悉的问题情境，让学生体验数学，品尝成功的乐趣，对激发学生的数学兴趣、培养学生的数学应用意识以及解决实际问题的自信心是非常有效的。
2、强化学生“数学地”阅读、提高理解的能力
苏联著名教育家斯托利亚尔指出：“数学教学就是数学语言的教学”。因此，从语言学习的角度出发，数学教学也必须重视数学阅读。作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力，还要注重教给学生科学有效的数学阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性，使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处，从而在兴趣及利益的驱动下，自觉主动地进行数学阅读。
强化学生阅读理解能力的培养，可从以下几个方面入手：（1）让学生学会说题。所谓说题，就是让学生通过阅读题目后，进行分析思考，说出题目所提供的信息条件，现象过程，解题思路及采用的规律方法等等。教学中可让学生通览全题说题目要素；也可让学生剖析字句，说题目条件；还可让学生形成解题思路后，说解题步骤等。（2）组织适当的课堂讨论。课堂讨论常常需要教师给出所要解决的问题，学生在独立思考的基础上，以小组或班级的形式围绕议题发表见解、互相讨论。实践表明，课堂讨论为师生之间、同学之间的多向交流提供了一个很好的环境。讨论时学生独立活动的自由度增大，可以运用数学语言进行提问、反驳、论证、收集资料、统计数据等多种活动，并与别人的思想进行比较，以达到更深层次的理解和掌握。因此，课堂讨论不仅适合培养学生的交流能力，还有助于激发学生的学习兴趣、增进对知识的理解。（3）创造写数学的机会。让学生“写数学”，就是要学生把他们学习数学的心得体会、反思和研究结果用文字的形式表达出来，并进行交流。例如，可让学生写知识小结、解题反思、调查报告和小论文等等。这样做不仅可以提高学生的数学写作、阅读和理解能力，而且可以进一步提高学生的数学学习水平与探索研究的能力。
3、构建知识网络，强化从整体的角度选择思维起点的能力
数学实际问题最突出的特点是数据多，变量符号（字母）多，数量关系隐蔽，而且数据具有“生活实际”的本来面目。并非“纯数学化”的数据。学生对数据的感悟能力较差，对已知与所求之间的数量关系比较模糊，如果从局部入手，则头绪纷繁，不易突破，但若能从客观上进行整体分析，抓住问题的框架结构和本质关系，常能出奇制胜，找到解决问题的方法。具体地讲可以运用结构数据表格整合信息，理顺数量之间的关系，从而建立相应的数学结构，突显数学“建模”。
例如，在上面调运农用车的问题中，设甲仓库调往A县X辆农用车，整体分析的结果可以用一表格直观地表示如下：
原有农用车（辆）
调往A县的农用车（辆）
调往A县的农用车的费用（元）
调往B县的农用车（辆）
调往B县的农用车的费用（元）
甲仓库
12
X
40
12-X
80
已仓库
6
10-X
30
6-（10-X）
50
4、加强学生“数感”的培养
要使学生学会从现实情境中提出问题，从一个复杂的情境中提出问题，构建数学模型，就需要具备一定的数感。数感的培养可从以下几个方面入手：（1）收集数据，理解大数的意义。（2）合理估算，形成数感。学生数感的建立不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的。在数的概念教学中应发展学生的数感。如在认识数的过程中，可让学生说一说自己的学号、住宅的门牌号码、自行车的号码，或估计1页书有多少字、1把黄豆有多少粒等，让学生在对具体数量的感知与体验中建立数感。另外在数的运算教学中加强数感的培养。随着学习的深入，有必要呈现复杂的情境，引导学生建立数学模型，加强数感的培养。如在学生认识大数后，可出示问题：设计一种皮箱，刚好能装100万元人民币。这时学生的思维被激活了，通过小组合作和全班交流，学会了根据实际问题的背景去选择运算方式，并对数据有了更深的认识和感受。（3）数学地思考问题，拓展数感。如在学习了“100万有多大”后，让学生结合实例说说100万有多大？到同学家做客，会估计客厅、卧室的面积有多少平方米等。我们不但要使学生会用数学解决与数学有关的问题，而且要试图让学生用数学的观点和方法来处理和解决一些看似与数学无关的问题，即学会数学地思考问题。
5、加强数学语言能力的培养
对学生数学语言能力的培养包括两方面内容：一是掌握数学语言，包括：接受----看或听得懂，能识别、理解、解释弄清数学问题的语言表达，并能转化为具体的数学思想，能用自己的语言复述、表达；表达----写或讲得出，能将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程用恰当的数学语言准确流畅地表达出来，并且在表达中名词、术语规范、准确、合乎逻辑。二是帮助学生掌握好非数学语言与数学语言之间、各种数学语言的互译、转化工作。
综上所述，培养学生解决实际问题的能力，关键是要培养学生的建模能力，即把实际问题转化为数学问题的能力，而提高这一能力，需要教师平时结合教学内容尽可能创设一种生动、有趣、贴近学生生活的情境，让学生在数学建模的过程中感受数学的价值，真正喜欢数学，使不同的人在数学上得到不同的发展。
