1.抽象代数学
定义：关于“运算”的一门学问，而运算就是集盒上的二元自映射。据此，本人认为此科目不如改名叫做“运算学”。
（关于科普写作：不太想讲这个，因为太初等了。即使不讲，智力普通的中学生们自己就可以自学懂了。但为了写作计划的完备性还是列出来了。）
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2.古典分析学
定义：分析学是研究变化的速率的一门学问。届时科普将讲解导函数、微分算子、范数、内积、测度等一系列概念的意义。
（关于科普写作：这个也不想讲，本人分析学很差，很难讲好的。但理解基本概念对中学生还是不困难的。）
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3.拓扑学
定义：研究图形的“连续地改变”以及“图形的变化的连续性”的一门学问。
（关于科普写作：拓扑学在过去几百年是学术研究的主流，而现在则沦为本科生的基础课程，所以中学生不可不学。如果不懂这个，后续的课程像度量几何、K理论、黎曼曲面这样的都无从学起。但是也有一些相当厉害的中学生，水平已经达到一上来就很快入门，并且很快就进入微分几何、代数拓扑、同调代数、代数几何而且毫不费力的层次了。所以对他们而言，拓扑学已经太初等太幼稚了。对这类童鞋，笔者的建议是直接无视前5个选项而选择高级选项中的某一个。另外，届时本人将参考《拓扑学奇趣》和《可视化复分析》等书的风格进行科普写作，以帮助童鞋们理解拓扑学的妙趣。）
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4.度量几何学
定义：给拓扑学赋予了“刚硬性”后，关于图形的一门学问。
解说：古典的度量几何就是初等的欧几里得几何与笛卡尔几何。现代的度量几何是指微分几何，如欧几里得微分几何以及后来的黎曼微分几何。度量几何之所以区别于微分拓扑学，本质就在于我们人为地在图形上给定了一个“绝对距离”的结构，我们把这个结构叫做“度量”。从“度量”这个最基本的几何对象出发，我们可以得到一系列拓扑或几何概念——联络（专指“与度量相容的联络”）、曲率（专指“联络所对应的曲率”）、示性类（指“曲率所在的示性上同调等价类”，最后这一步是“返祖”现象，又回到了拓扑学，但过程本身是度量几何的），从而窥探到图形的一系列的绝对性质（度量几何性质）或相对性质（拓扑性质）。
（关于科普写作：如果把拓扑学比作“流体力学”，那么度量几何就相当于数学领域中的“刚体力学”。）
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5.数论
定义：关于整数的性质的理论，以及从整数理论出发而派生出来的一系列理论。
（关于科普写作：其实这个本应放在第三或第四个选项，只是由于本人自2010年7月之后至今再无踏足数论领域，对是否能讲好此科甚是怀疑。）
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6.K理论
定义：关于对一个图形上的所有向量丛进行“连续类型”的分类的理论，以及向量丛分类理论进行形式化所得到理论。前者叫做拓扑K理论，后者叫做代数K理论。
（关于科普写作：这个虽然重要，但是对启蒙中学生这个目标而言，性价比并不是很高。所以即使中学生不学也没有大不了的，建议小伙伴们最好不要选这个。而且，前四个选项和第6个、第7个远比这个重要。之所以在此列出来，是由于2012年曾经承诺吧友写一个关于K理论的科普。）
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7.黎曼曲面理论
定义：一维的复几何。复几何是关于在复数集盒上定义的图形的学问。
解说：由于复数集盒的解方程完备性，导致复几何比实几何更简单。在复的图形对象（叫做二元图形）上，发生了许多远比实的图形（叫做一元图形）对象丰富和有趣的事件。
（关于科普写作：其实此科目可以放入第三选项“拓扑学”，使它成为拓扑学的一章。但是考虑到复几何对低年级童鞋的重要性，所以把黎曼曲面单独罗列出来，成为一个选项。）
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8.p进拓扑学
定义：在有理数上赋予了不同于我们耳熟能详的一种远近结构。它起源于代数数论，但可以看做是古典的初等分析学的后继课程。
（关于科普写作：这个是本人写作计划中的“非主流”项目，请各位慎重选择。本人曾对这个领域感兴趣，但由于它缺乏直观的图像解释，所以已经弃学很久了。但是貌似对启蒙很重要，从p进拓扑学、p进分析学、p进线性表示一路走到p进几何，p进拓扑学实在是非常底层的基础学问了。）
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9.范畴论
定义：关于“范畴”的数学理论。
解说：人们最常提到的“范畴”，是“领域”的涵义。后来被哲学家引申为某些“特殊的、特定的‘领域’”。但此处的“范畴”，不同于亚里士多德所定义的“范畴”。后者是一个哲学概念，而前者是一个数学概念，但颇具哲学味道。而本人的观点是，只要人为地对一些数学对象作出某种界定，这个“对象族”就是一个“领域”，换言之，是一个“范畴”。
（关于科普写作：考虑到面向对象为中学生，所以这个不打算系统地讲解，只用一些初等的例子来烘托气氛就完事。）
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10.非标准分析学
定义：实数集盒上的另一种分析学，在这种理论中，无穷小和无穷大不是“潜存”，而是“实存”。
解说：古典的分析学（Riemann分析学），以及近代的Lebegue分析学，都隶属“标准分析”。而非标准分析之谓“非标准”，就在于引入了“无穷小”，把无穷小看做绝对的数学实体。于是第三次数学危机就在另一个层面上被解决，另外整个分析学的面貌得以改观。而且，相较于标准分析学，非标准分析学中的一切数学讨论都变得非常简单。于是，非标准分析学从这个意义上派上了用场，即，对大一数学分析感到很头疼的童鞋可以选择学这个。但是如果不学非标准也是完全OK的，因为它不是如今数学界最重要的。近现代最重要的数学是代数几何，从这个意义上讲，非标准就如同鸡肋。
（关于科普写作：将举一些例子，画几个图，帮助中学生理解了基本的几个概念就完事。）
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11.元数学
定义：关于“数学”本身的学问，也叫“数学学”或“数学哲学”。
（关于科普写作：这个本人是外行，没有系统地学过，但是很感兴趣，而且是写给中学生和低年级大学生，并不需要很专业的。所以如果各位有需要的话，本人可以先今年抽时间学完，明后年就可以抽时间写科普。）
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12.形式语言学
定义：将理论语言学和古典逻辑学进行符号化、抽象化后，所得到的学科，隶属于数理逻辑。
（关于科普写作：这个离纯粹数学已经有些远了，但是本人对语言学很感兴趣，希望到时能参考Wittgenstein的逻辑学观念并结合起来讲一讲。）
--------------------THE END-------------------
定义：关于“运算”的一门学问，而运算就是集盒上的二元自映射。据此，本人认为此科目不如改名叫做“运算学”。
（关于科普写作：不太想讲这个，因为太初等了。即使不讲，智力普通的中学生们自己就可以自学懂了。但为了写作计划的完备性还是列出来了。）
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2.古典分析学
定义：分析学是研究变化的速率的一门学问。届时科普将讲解导函数、微分算子、范数、内积、测度等一系列概念的意义。
（关于科普写作：这个也不想讲，本人分析学很差，很难讲好的。但理解基本概念对中学生还是不困难的。）
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3.拓扑学
定义：研究图形的“连续地改变”以及“图形的变化的连续性”的一门学问。
（关于科普写作：拓扑学在过去几百年是学术研究的主流，而现在则沦为本科生的基础课程，所以中学生不可不学。如果不懂这个，后续的课程像度量几何、K理论、黎曼曲面这样的都无从学起。但是也有一些相当厉害的中学生，水平已经达到一上来就很快入门，并且很快就进入微分几何、代数拓扑、同调代数、代数几何而且毫不费力的层次了。所以对他们而言，拓扑学已经太初等太幼稚了。对这类童鞋，笔者的建议是直接无视前5个选项而选择高级选项中的某一个。另外，届时本人将参考《拓扑学奇趣》和《可视化复分析》等书的风格进行科普写作，以帮助童鞋们理解拓扑学的妙趣。）
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4.度量几何学
定义：给拓扑学赋予了“刚硬性”后，关于图形的一门学问。
解说：古典的度量几何就是初等的欧几里得几何与笛卡尔几何。现代的度量几何是指微分几何，如欧几里得微分几何以及后来的黎曼微分几何。度量几何之所以区别于微分拓扑学，本质就在于我们人为地在图形上给定了一个“绝对距离”的结构，我们把这个结构叫做“度量”。从“度量”这个最基本的几何对象出发，我们可以得到一系列拓扑或几何概念——联络（专指“与度量相容的联络”）、曲率（专指“联络所对应的曲率”）、示性类（指“曲率所在的示性上同调等价类”，最后这一步是“返祖”现象，又回到了拓扑学，但过程本身是度量几何的），从而窥探到图形的一系列的绝对性质（度量几何性质）或相对性质（拓扑性质）。
（关于科普写作：如果把拓扑学比作“流体力学”，那么度量几何就相当于数学领域中的“刚体力学”。）
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5.数论
定义：关于整数的性质的理论，以及从整数理论出发而派生出来的一系列理论。
（关于科普写作：其实这个本应放在第三或第四个选项，只是由于本人自2010年7月之后至今再无踏足数论领域，对是否能讲好此科甚是怀疑。）
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6.K理论
定义：关于对一个图形上的所有向量丛进行“连续类型”的分类的理论，以及向量丛分类理论进行形式化所得到理论。前者叫做拓扑K理论，后者叫做代数K理论。
（关于科普写作：这个虽然重要，但是对启蒙中学生这个目标而言，性价比并不是很高。所以即使中学生不学也没有大不了的，建议小伙伴们最好不要选这个。而且，前四个选项和第6个、第7个远比这个重要。之所以在此列出来，是由于2012年曾经承诺吧友写一个关于K理论的科普。）
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7.黎曼曲面理论
定义：一维的复几何。复几何是关于在复数集盒上定义的图形的学问。
解说：由于复数集盒的解方程完备性，导致复几何比实几何更简单。在复的图形对象（叫做二元图形）上，发生了许多远比实的图形（叫做一元图形）对象丰富和有趣的事件。
（关于科普写作：其实此科目可以放入第三选项“拓扑学”，使它成为拓扑学的一章。但是考虑到复几何对低年级童鞋的重要性，所以把黎曼曲面单独罗列出来，成为一个选项。）
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8.p进拓扑学
定义：在有理数上赋予了不同于我们耳熟能详的一种远近结构。它起源于代数数论，但可以看做是古典的初等分析学的后继课程。
（关于科普写作：这个是本人写作计划中的“非主流”项目，请各位慎重选择。本人曾对这个领域感兴趣，但由于它缺乏直观的图像解释，所以已经弃学很久了。但是貌似对启蒙很重要，从p进拓扑学、p进分析学、p进线性表示一路走到p进几何，p进拓扑学实在是非常底层的基础学问了。）
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9.范畴论
定义：关于“范畴”的数学理论。
解说：人们最常提到的“范畴”，是“领域”的涵义。后来被哲学家引申为某些“特殊的、特定的‘领域’”。但此处的“范畴”，不同于亚里士多德所定义的“范畴”。后者是一个哲学概念，而前者是一个数学概念，但颇具哲学味道。而本人的观点是，只要人为地对一些数学对象作出某种界定，这个“对象族”就是一个“领域”，换言之，是一个“范畴”。
（关于科普写作：考虑到面向对象为中学生，所以这个不打算系统地讲解，只用一些初等的例子来烘托气氛就完事。）
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10.非标准分析学
定义：实数集盒上的另一种分析学，在这种理论中，无穷小和无穷大不是“潜存”，而是“实存”。
解说：古典的分析学（Riemann分析学），以及近代的Lebegue分析学，都隶属“标准分析”。而非标准分析之谓“非标准”，就在于引入了“无穷小”，把无穷小看做绝对的数学实体。于是第三次数学危机就在另一个层面上被解决，另外整个分析学的面貌得以改观。而且，相较于标准分析学，非标准分析学中的一切数学讨论都变得非常简单。于是，非标准分析学从这个意义上派上了用场，即，对大一数学分析感到很头疼的童鞋可以选择学这个。但是如果不学非标准也是完全OK的，因为它不是如今数学界最重要的。近现代最重要的数学是代数几何，从这个意义上讲，非标准就如同鸡肋。
（关于科普写作：将举一些例子，画几个图，帮助中学生理解了基本的几个概念就完事。）
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11.元数学
定义：关于“数学”本身的学问，也叫“数学学”或“数学哲学”。
（关于科普写作：这个本人是外行，没有系统地学过，但是很感兴趣，而且是写给中学生和低年级大学生，并不需要很专业的。所以如果各位有需要的话，本人可以先今年抽时间学完，明后年就可以抽时间写科普。）
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12.形式语言学
定义：将理论语言学和古典逻辑学进行符号化、抽象化后，所得到的学科，隶属于数理逻辑。
（关于科普写作：这个离纯粹数学已经有些远了，但是本人对语言学很感兴趣，希望到时能参考Wittgenstein的逻辑学观念并结合起来讲一讲。）
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