一下就沉了

证明9:傅立叶分析证明
教科书上最普遍的证明
考虑函数将其傅立叶展开,计算得知

显而易见，代入f(0)得到答案

其实还有些做法还没有收录，也许以后会更新。。

@starethics 可否加精一个？

证明补充：欧拉1741年的证明
有时候会误解欧拉没有给出真正的证明（在@tq唐乾 提醒前我是这么认为了），实际上他给出过真正严谨的证明，也就是要证明：

而由于我们知道z^n-a^n的分解

令z=1+x/N,a=1-x/N,有

考虑1次项x的系数，我们有C[N]=2,对所有N成立，令N趋于无穷大，左边趋于
e^x-e^(-x),右边是利用Taylor展开cos(y)~1-y^2/2,得到右边为(1+x^2/(k^2*pi^2))
就得到了第一个公式