a number是任何一个数字 the number是特定的一个数字
1.She agreed to our request without hesitation.
2.Little Tommy prefers playing ourside to watching TV at home.
3.The outcome of the research will be applied soon.(这句翻得不太好,有高人请再修改)
4.The crops were affected due to the lack of rain.
5.We spent a lot of time and money on this project.

3Q

“A number of”的意思是“若干”或“许多”，相当于 some 或 a lot of，和复数名词连用。当它出现在主语前时，谓语动词和主语搭配。必要时，还可以加上形容词great, large, small, good 等。例如：

A number of highly qualified scholars have worked in Singapore. 
A great number of junior college graduates opt for business administration courses. 
There are a large number of teaching posts yet to be filled. 
Only a small number of men want to be language teachers. 
A good number of books in the market are examination-oriented. 
“The number of”和“a number of”一样，跟在后头的名词也是复数的，不同的是这里的主语是单数的 the number，不是它后面的复数名词，谓语动词必须和 the number 呼应，如：

The number of undergraduates has increased over the years. 
The number of new houses is unable to cope with the ever-growing population. 
The number of college graduates in a country reflects its cultural standard. 
这三个句子里的 the number 的性质和下列主语一样：

The work of lab technicians is dull but important.