所谓“广义”就意味着不完全是函数。所有的函数都是广义函数，但有不是函数的广义函数。如dirac函数，就不是函数。
其次，广义函数是借助弱收敛来定义。弱收敛的概念挺复杂，你自己去查资料吧，简单来说就是对所有函数都满足的收敛，所以是指所有函数。
所谓的泛函分析中的“泛函”就是说把积分和微分本身作为一个研究的对象。根据riesz定理，连续有界泛函都可以表达为积分形式，所以，如果是有界泛函，就可以写成积分。
如果在测度意义上说，我们可以用勒贝格测度，也可以用计数测度。前者可写成积分形式，后者可写成求和形式。

谢谢你的回答。
我这里的疑问是：广义函数定义中，=的左边为什么都要用<f,Ψ>的形式?
是强调广义函数“依赖于与Ψ的内积趋近于0”来定义吗？
但我看到教材中说，广义函数也是直接用f来表示的。那么为什么这里要用<f,Ψ>的形式？