由均值不等式易得tanα+tanβ+tanγ≥3.
原不等式左边=∑（1+ti²）^(-1/2)。其中i=1,2,3。tanα=t1，tanβ=t2，tanγ=t3
令f（x）=（1+ti²）^(-1/2)，x＞0。则f''（x）=（1+x²）^(-3/2)（3x/2（1+x²）-1）
≤-（1+x²）^(-3/2)/4＜0。于是f为上凸函数。
则原不等式左边=∑f（ti）（i=1,2,3）≤3f（∑ti/3）=3（1+（∑ti/3）²）^(-1/2)≤3（1+1）^(-1/2)
=3√ 2/2

感觉问题还是没解决啊

如果没记错，这是04西部数学奥林匹克。感觉3楼的证法是对的，只是在x不在上凸区间时应该可以用个局部不等式调整到上凸区间内

其实可以进一步思考tanαtanβtanγ=√c(c为正常数)，求cosα+cosβ+cosγ的上下确界.

换元法，令x'=lntanx并随后用x代替x'。
则就是x+y+z=0(x,y,z in R)，证明sum 1/sqrt(1+e^x) <= 3/sqrt2
在(-inf, 2]上1/sqrt(1+e^x)保持凸性，于是如果tanx<=e^2则已经证明完毕。
如果有两个tan>e^2，则是显然，把tan大的放到1/sqrt(1+e^2)，小的放到1，得到<=2/sqrt(1+e^2)+1<=2/sqrt(1+(5/2)^2)+1<=2<=3/sqrt2
如果只有一个tan>e^2则对小的用凸性，然后求导数发现是递减函数，f(2)<=3/sqrt2这就证明了不等式

我觉得这类问题用拉格朗日乘子法都能算

每个不等式贴都有一个光说不做的拉格朗日er

-=-其实我认为你应该去度娘一下
--------------你在贴吧这么吊你家人知道嘛？

最害怕不等式的题