先证[0,1]上有一致收敛于|x|的多项式序列。
记f_0(x)=1, f_n+1(x)=(x^2+2f_n(x)+f_n(x)^2)/2, 归纳知对任意x, f_n(x)递减且不小|x|, 递推式两边逐点取极限，可知{f_n}逐点收敛于|x|, 由dini定理，{f_n}一致收敛于|x|.
p.s容易将[-1,1]推广为[-a,a], a是任一正数。

设X是紧空间，C(X)是X的全体连续函数的集合，它关于一致范数|f|=sup{|f(x)||x∈X}构成赋范向量空间，关于偏序f≥g iff {x|f(x)≥g(x), x∈X}=X构成格。设L是C(X)的含有1的子向量格，且能分离X的点，即对不同的x,y∈X, 存在f∈L使得f(x)≠f(y), 则可以断言L稠密。对任意连续函数g和任意正数ε，先取定一点x, 对任意点y, 易知存在f∈L使得f(x)=g(x), f(y)=g(y), 于是存在y的邻域W, 使得在其上有f>g-ε. 因为X紧，所以存在有限个点y_1, ... ,y_和它们各自的邻域W_1, ..., W_n以及相应的L中的函数f_1, ... ,f_n, 使得W_1, ... ,W_n覆盖X, f_i在W_i上大于g-ε, f_i(x)=g(x) (i=1, ... ,n), 于是存在L中的f:=sup{f_1, ... ,f_n}使得f(x)=g(x)以及f>g-ε在X上恒成立。同样，由于f(x)=g(x), 存在x的邻域U使得其上有f<g+ε, 而X紧，所以存在覆盖X的有限个开集U_1, ... ,U_m和L中的函数f_1, ... ,f_m, 使得f_i在Ui上小于g+ε且在X上大于g-ε, 所以有L中的函数f:=inf{f_1, ... ,f_m}使得 g-ε<f<g+ε在X上恒成立，这就证明了L的稠密性。

C(X)也是一个代数，现设A是其含有1且能分离X的点的子代数，那么A稠密，这就是weierstrass-stone定理。依楼上所断言，若能证明A的闭包clA是如楼上所述的子向量格，那么L=cl(clA)=clA, 易见,为此只要证明对任意f,g∈clA, sup{f,g}与inf{f,g}也属于clA. 设f_n→f, g_n→g, p_n→abs, 其中f_n, g_n属于A, p_n是二楼所述的多项式 (n=1, 2, ...), (f_n+g_n)/2+p_n(f_n-g_n)/2→(f+g)/2+|f-g|/2=sup{f,g}, 因此sup{f,g}属于clA. inf{f,g}也属于clA, 于是weierstrass-stone的证明就完成了。如果X是hausdorff的，那么可分离X的点也是C(X)的含有1的子代数稠密的必要条件，因为这时X是正规的，闭集{x,y}的连续函数f(x)=0, f(y)=1可以在X上连续延拓，而充分靠近f的函数分离x和y.