[音][科普向]关于数学

说起数学这东西 相信不少人还是不那么喜欢的 甚至于用<憎恨>这个词也不为过 原因有许多 除了本身可能不太感兴趣之外 大天朝的教育模式可能是最大的原因了 活生生的抹杀了许多人对于数学原本的憧憬和热情 基于以上原因 鄙人在此只做简单的介绍和推荐 并不对数学本身做过多的探讨
关于数学的频率最高的两个问题 恐怕就是<数学有什么用>和<我该如何学习数学/学些什么数学内容> 故在此主要对这两个问题进行简单的说明 抛砖引玉 希望各位大牛能够将自己的看法也都发表出来 不喜勿喷

1.数学有什么用
个人觉得这其实是一个非常哲♂学的问题 并且这个问题是没有答案的 因为喜欢数学的人不在乎这一点 而不喜欢数学的人大抵上也不会相信其他人指出的<用处> 由于数学本身是对现实问题的抽象 或者是对抽象进行的进一步抽象(对于抽象的解释 鄙人倾向于解释为<遮蔽细节>) 所以很多时候并不能直接看出他的用处 而且由于大多数纯粹数学家并不关心所谓<数学的用途> 这个问题有时候就会显得比较可笑---业内人士毫不关心 门外汉却心急如焚 何况这个问题的答案意义并不大 如果你感兴趣并愿意学习 那么你不需要知道这个问题的答案 如果你不感兴趣 那么就等待工作需要的时候再去补补 也不会有什么大碍 无论是哪一种人 最终对于这个问题都会有自己的答案 因而不再过多说明
2.我该学些什么东西/该如何学
自然是看需求 不过就以计算机而言 离散方面的内容肯定是比较重要的 在这里对离散数学所包含的基本内容做一个简单的介绍和推荐

1) 数理逻辑
很多人都会听到别人说<逻辑好的人学编程比较厉害> 不过恐怕很多人并没有一些直观的认识 因而在此举一个简单的例子.
Ex.1
If A
Then if B then X else Y
Else if B then X else Y
略微思考可以发现 其实上述结构等价于以下结构
If B then X else Y
或许这个例子过于简陋 不过应该能够传达鄙人想要传达的东西
这便是逻辑思维 在数理逻辑中 上述题目等价于化简
(A∩B)∪(~A∩B) 与 (A∩~B)∪(~A∩~B)
其中~代表非 A与B均为某个命题
数理逻辑的内容自然远不于此 而其应用自然也不会止于此
如果你对AI(或者AI相关)感兴趣 那么你就需要更系统的学习数理逻辑 了解数理逻辑的本质 这时候仅仅依靠离散书上所教授的知识显然是无法满足了 在此推荐两本有关于数理逻辑的入门好书 感兴趣的人可以去看看
,Undergraduate Texts in Mathematics(UTM) - Mathematical Logic - H.D.Ebbinghaus
,Logic in Computer Science ( Modelling and Reasoning about Systens) - Michael Huth
如果对AI比较感兴趣 那么这里两本入门书或许比较适合你
,Artificial intelligence: A modern approach. By: Stuart Russell and Peter Norvig.
,Machine learning. By Tom Mitchell
如果对自己不够自信 想要看些离散上的逻辑 对于国内 我建议看南京大学出版的离散相关书籍 他们在数理逻辑领域处于领先状态(至少曾经是这样) 国外书我推荐以下两本
,A First Course in Discrete Mathematics 2nd ed - ANdersonn
,Discrete Mathematics and Its Applications - Rosen

2)组合与计数
组合与计数是离散的核心部分之一 其在计算机方面主要的应用有两点 一是其对于概率论的帮助 二是其在算法复杂度分析中的直接应用 在翻阅算法以及数据结构的书籍时 总能在其中看到各种各样的递推式 比如归并排序的复杂度递推式 T(N) = 2T(N/2) + N 而求解此类递推式的内容就包含在组合数学中 如果你想去更加系统的研究算法复杂度理论 那么学习组合数学便迫在眉睫 以下推荐一本不错的组合入门书
,Introductory Combinatorics(中译名:组合数学)
3)近世代数(抽象代数)与代数系统
这部分内容与计算机并没有非常直接的联系 但是他们的理论在关系以及组合数学中有非常多的应用 例如组合数学中的polya计数法 因而即使不专门去研究他们 也至少要对这两者有一个基本认识 对于这两部分内容 如果你不想深究 一般的离散书已经足以应付 如果你的离散书上并没有这样的内容 可以考虑翻一翻下面这本书
,代数结构(孙淑玲)
如果想品味一下代数的魅力 那么可以考虑阅读这本书籍
,A First Course in Abstract Algebra
4)关系
关系的理论除了可以直接应用在数据库上之外 对于图论中的不少理论也有一定的帮助(例如关系的闭包理论之于有向图|偏序理论之于拓扑排序) 因而这部分内容是比较重要的 鄙人目前并未看过单独讲解关系的书籍 因而没法做出推荐 不过上面所提到的<代数结构>中也包含了这部分内容的简单介绍 如果有人读过比较好的相关书籍 请务必推荐给我
5)图论
图论之于计算机的重要性恐怕也不必我多说 而讲解图论算法的书想必大家也看了一本又一本 不过许多这类书籍并没有算法的相关证明 也没有对图论算法本身提供一个良好的理论支持 如果你对这方面存在迷惑 而又想去解决的话 那么我推荐以下两本书籍
,Graph Theory - R. Diestel(此书是GTM系列书籍 有一定的难度 推荐有一定基础的人翻阅)
,Graph theory with applications J.A.Bondy and U.S.R.Murty

如何学习数学
个人看法是:多看 多练.
对于应用而言 知道的多就是大神 而对于理论来说 重要的是培养一种直觉 一种对于数学的直觉 不得不说 数学研究是一件非常需要天赋的工作 很多时候 努力不一定会有好的结果 当你有看不懂的东西的时候 首先要硬着头皮把他看下去 知道这是在说有关于什么的东西 数学上有很多公式晦涩难懂 但是真正应用起来却又是另外一回事 所以首先要克服自己的恐惧心理 不懂的先记住 在逐渐的应用学习和积累之中 这些问题会很自然的随着时间的推移而解决 鄙人在看组合反演之时便是如此 对于给出的公式完全不明觉厉 证明更加不明觉厉 但是随后学习代数之时 发现其中有关于矩阵运算的定义与其高度相似 因而想明白了当时的问题 学习切忌半途而废 尤其是数学这种抽象程度比较高的学科 坚持下去 生活总会有曙光的

以上,
关于其他数学的内容(分析/代数/几何)与计算机方面的联系 择日再写.
感谢阅读.

辛苦了

数学确实很重要啊，搞编程的看看离散数学是不错的选择

有人觉得世界是数学的世界，所以研究数学，有人觉得是物理的世界，所以研究物理，我想那个有没有谁没学过数学而直接成了科学家或工程师，我数学学了就用来应付考试了，分数也不错，所以厌烦数学课本了，老是讲哪些乱七八糟的内容，虽然编程时看似是数学，但那些逻辑推理并不是非得精通数学不可我以前很喜欢解数学题，但大学就光学了高数，所以没领悟到数学之美啊，我想找些不一样的数学读物找回数学的兴趣

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其实把我也不讨厌数学，就是不喜欢做题

有的时候思考数学发现他是那么美丽，人类在数学上还没有犯过致命错误，互不相同的理论也可以相互推导，超级不喜欢老师讲的数学，不过对数学的喜爱从未减少，编程也好，数学也好，都是值得自己去努力钻研的地方。
哈哈，今年的课打算不去上了，自学数学。