可否用连分数展开?

有意思..

d

能求出简化的表达式吗

极限是(1+√5)/2

楼上算得是根号(1+根号(1+根号(1...)))吧�

嗯,是看错了�

拉瓦努金恒等式。答案3.

可是极限好像是2�

答案是3，呵呵�

看上去不难，至少证明通项<3是容易的

可以写成一个无穷方程
假设只有两项x^2=1+2
多一项[(x^2-1)/2]^2=1+3
...............................

观察3的特性可以猜出来n->∞,x=3

考虑数列a2=x,a(k+1)=(ak^2-1)/k,k=2,3,...

如果x>=3,容易归纳证明ak>=k+1,k=2,3,...

下面如果x<3,我们证明{ak}有界

若有某ak<=k,则a(k+1)<ak^2/k<=k,进而a(k+2)<=k,...于是{ak}有界；否则结合x<3及归纳法容易知道k<ak<k+1,k=2,3,...

设ak-k-1=ck,则容易知道-1<ck<0和

c(k+1)=((ck+k+1)^2-1)/k-k-2=ck/k*(ck+2k+2)

于是|c(k+1)|>=|ck|*(2k+2-1)/k>=2|ck|>0

于是|ck|→+∞,矛盾

现在证明原题

首先，设xn表示截止到根号(1+n)的部分根式，那么{xn}显然递增，我们先证明他们都<3

如果某个n使得xn>=3,以这个xn作为x0,按楼上的方法作出序列，那么一方面ak>=k+1,k=2,3,...；又由定义知a(n)=sqrt(1+n)<1+n,矛盾

于是所有xn<3,那么他们有一个极限记为d.我们只要证明d不可能小于3.

如果d<3,那么对每个n，若以xn作为x0，作出楼上的序列，显然这序列中直到第n项（指上面的an）都为正，那么由于xn<=d,容易知道以d作为x0做出的序列中直到第n项也为正，且各项都不小于上面对应项。

由楼上知后一序列有界，因此对每个n，以xn作为x0的序列的前n项都不超过某固定常数，但我们有x0=xn时an=sqrt(1+n)，矛盾