解：（1）由已知条件得：梯形周长为24，高4，面积为28．
BF=24÷2-x=12-x （1分），
过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，
∵FG‖AK，
∴△BGF∽△BKA，
∴
FG
AK
=
BF
AB
，
∴FG=
4(12-x)
5
，
∴S△BEF=
1
2
×
4(12-x)
5
×x=
24x-2x2
5
（7≤x≤10）；（2）存在． （4分）
由（1）得
24x-2x2
5
=14，（5分），
解得x1=7，x2=5（不合题意舍去），
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，
此时BE=7．（6分）（3）不存在，过点F作FM⊥BC于M，过点A作AH⊥BC于H，
假设存在，第一种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=1：2，
（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2，
梯形ABCD周长的三分之一为
24
3
=8，面积的三分之一为
28
3
．因为BE=x，
所以BF=（8-x）
∵FM‖AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴
8-x
5
=
FM
4
，
∴FM=
32-4x
5
，
∴△BEF的面积=-
2
5
x2+
16
5
x，
当
1
3
梯形ABCD的面积=
28
3
时，
∴
28
3
=-
2
5
x2+
16
5
x，
整理方程得：-3x2+24x-70=0，
△=576-840＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．
同时分成1：2的两部分．
第二种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1，
梯形ABCD周长的三分之一为：
24
3
=8，面积的三分之一为：
28
3
．因为BE=x，
所以BF=（8-x）
∵FM‖AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴
8-x
5
=
FM
4
，
∴FM=
32-4x
5
，
∴△BEF的面积=-
2
5
x2+
16
5
x，
当
1
3
梯形ABCD的面积=
28
3
时，
∴
28
3
×2=-
2
5
x2+
16
5
x，
整理方程得：3x2-24x+140=0，
△＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积，同时分成1：2的两部分．