对于某k有（m+i）（m-i）=kp等价于m^2+1≡0(mod p)即m^2≡-1(mod p),由wilson定理知有数与-1同余（mod p），则其为（p-1）！,由题意知p=4n+1(n为正整数)，所以（p-1）！=1*2*3*2n*(2n+1)*(2n+2)*……*(4n-1)*4n≡1*2*3*……2n*(-2n)*(-(2n-1))……(-2)(-1)(mod p)≡(2n!)^2(mod p),p在Z[i]中可约，
令p=(a+bi)(c+di),(a+bi)、(c+di)均非Z[i]中的单位，则p^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2),因(a+bi)、(c+di)均非Z[i]中的单位，所以(a^2+b^2)、(c^2+d^2)均非1，根据Z的唯一分解定理知p=a^2+b^2