为什么|Δn(x)|<M要另外说？ps.看起来可以证明f可导且导数处处为0。

好像第一个条件可以得到f为lipschitz，借助第二个条件如果f不是常数则可以由此得到矛盾。

试试先把△_n积分一下，然后用控制收敛定理。那个有界的条件感觉就是专门拿出来给这个用的。

反复迭代是对的。这道题凡是用导数做的都是错的。。
因为这个函数的(f(x+dx)-f(x))/dx是dx以1/2^n的一种点态形式收敛的，所以这个极限可能并不存在（可以以数列的一个子数列收敛，但原数列不收敛来类比）更别说这个函数的导数了。
所以用反证法证明不存在x1，x2使得f(x1)不等于f（x2），不妨假设（f（x2）>f（x1），x2>x1）
令m=（f（x2）-f（x1））/(x2-x1)，因为上面那个极限趋于0，所以对于x1和m，存在1个N，使得f（x1+1/2^N)-f(x1)<m/2^N,然后在考虑x1+1/2^N和m，存在N2，使得f(x1+1/2^N+1/2^N2)-f(x1+1/2^N)<m/2^N2,这样反复迭代。注意为了让这个过程可以一直进行到x2不在中途停住，所以要证明那个1/2^Nx这些数的和不收敛，只要利用收敛设极限为a，在f（x1+a)处利用上面那个极限趋于0，但是存在N3使得f（x1+a+1/2^N3)-f(x1+a)<m/2^N3，所以这个极限至少是a+1/2^N3,矛盾（注意N3是个固定的数）所以该数列发散，然后注意在快要接近x2的时候利用f连续（因为这样的形式的和只能是有理数，但x2和x1的差可能是无理数），然后把上面的式子加和就知道f（x2）-f（x1)<m(x2-x1),矛盾。所以原假设不成立。（对于前面那个矛盾的式子可以考虑平均数，比如f（x1+1/2^N)-f(x1)<m/2^N，所以x在前进1/2^N时，f（x）前进不到m/2^N,所以有最后那个式子）

楼主找到答案了么