《几何原本》之逻辑推理

【证明】
设：AB为已知线段。
要求：以线段AB为边建立一个等边三角形。
以A为圆心、以AB为半径作圆BCD；再以B为圆心、以BA为半径作圆ACE。两圆相交于C，连接AC、AB。△ABC就是以线段AB为边的等边三角形。
因为：A是圆心，故AC=AB（定义Ⅰ．15）。
又，因为：B是圆心，故AB=BC（定义命题Ⅰ．15）。
CA=AB，所以，CA=CB=AB。
因为等于等量的量相等（公理Ⅰ．1），所以CA=CB。所以，AB=AC=BC。
所以，△ABC是以线段AB为边的等边三角形。
【分析】
一、作图。
1、作圆A。”以A为圆心、以AB为半径作圆BCD。“
公设Ⅰ．3是作圆方法，作为属属关系陈述，”定点“和”定长的线段“之间具有”可以作圆“的关系。”点A是定点“和”AB是定长的线段“是已知条件，作为下属关系陈述。二者结合得出结论，结论是种种关系陈述，”点A“和”线段AB“之间具有”可以作圆“的关系。
以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。 ——属属关系
A是定点，AB是定长的线段。 ——下属关系
所以，以A为定点及AB为半径可以作圆。 ——种种关系
属属关系就是公设Ⅰ．3。在《几何原本》中从来没有提到公设Ⅰ．3的应用，实际上有大量的应用。由于极其自然，所以过程省略了。我们觉得作圆好像不是推理。
2、作圆B。”再以B为圆心、以BA为半径作圆ACE。“
公设Ⅰ．3是作圆方法，作为属属关系陈述，”定点“和”定长的线段“之间具有”可以作圆“的关系。”点B是定点“和”AB是定长的线段“是已知条件，作为下属关系陈述。二者结合得出结论，结论是种种关系陈述，”点B“和”线段AB“之间具有”可以作圆“的关系。
以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。 ——属属关系
A是定点，AB是定长的线段。 ——下属关系
所以，以A为定点及AB为半径可以作圆。 ——种种关系
“作圆B”与“作圆A”逻辑推理完全相同。
3、连接AC。公设Ⅰ． 1是过现点作直线，作为属属关系陈述。”A是现点“是已知条件，作为下属关系陈述。二者结合得出结论：”过A可以作直线“。
过现点可以作一条直线。 ——属属关系
A是现点。 ——下属关系
所以，过A可以作直线。 ——种种关系
属属关系就是公设Ⅰ．1。《几何原本》对于直线和线段不加区分，甚至没有提出线段的定义。所以公设Ⅰ．1名为直线，实际也包含了线段。就像应用公设Ⅰ．3作圆一样，应用公设Ⅰ．1作直线在实际上也有大量的应用。同样由于极其自然，所以过程省略了。我们觉得作圆和作直线好像不是推理。
4、连接BC。
过现点可以作一条直线。 ——属属关系
B是现点。 ——下属关系
所以，过B可以作直线。 ——种种关系
“连接BC”与“连接AC”的逻辑推理完全相同。
作图有四个逻辑推理，就算把相同形式看成一个，也有两个推理。
二、证明。
1、AB=AC。”因为：A是圆心，故AC=AB（定义Ⅰ．15）。“
同圆半径都相等。 ——属属关系
AB和AC是同圆半径。 ——下属关系
所以，AB=AC。 ——种种关系
属属关系是定义Ⅰ．15，“圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。”这句话可以转换成“同圆半径都相等”。定义采用“种差+属”形式，“种差”就是性质，“属”就是属概念。圆的定义侧重于圆的性质和属概念，“由一条线包围着、其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等”是性质，“平面图形”是属概念。而“同圆半径都相等”，侧重于半径之间的关系。“同圆半径”之间具有“相等”关系，这种关系就是圆的性质。”AB“和”AC“是同圆半径”是已知条件，作为下属关系陈述。二者结合得出结论，结论是种种关系陈述。
2、AB=BC。 ”因为：B是圆心，故AB=BC（定义命题Ⅰ．15）。“
同圆半径都相等。 ——属属关系
AB和BC是同圆半径。 ——下属关系
所以，AB=BC。 ——种种关系
同上。
3、AC=BC。”因为等于等量的量相等（公理Ⅰ．1），所以CA=CB。所以，AB=AC=BC。“
等于等量的量相等。 ——属属关系
AB=AC，AB=BC。 ——下属关系
所以，AC=BC。 ——种种关系
属属关系是公理Ⅰ．1。公理Ⅰ．1也有大量的应用。
什么是证明？证明就是一个有目的的推理。在推理之前已知有结论，推理目的是得出这个结论，这就是证明。为什么《几何原本》的证明过程看起来很简单，写成逻辑推理反而这么复杂？这是因为在实际思维中有大量的省略式。命题Ⅰ．1看起来非常简单，仔细分析下来，应用了7个逻辑推理。扣除相同形式，还有4个逻辑推理。这4个逻辑推理全部是关系演绎的正常式。属属关系用到了定义Ⅰ．15、公设Ⅰ．1和3、公理Ⅰ．1。