a_n为正数，单调递增，怎么会趋于0？

即使改成单调递减也是错误的，因为你取an=1/2^n就不成立。

递减就可以了,作差等价于n*a(n+1)收敛于0

难道没有高手来帮帮忙吗

同问2L问的问题
题目有问题

应该是递减吧。
若∑n(an-a_{n+1})收敛，即∑_{k from 1 to n}k(ak-a_{k+1})=a1+...+an-na_{n+1}收敛。
只需要证明nan→0。
对任意epsilon，存在N使得m>n>N时，n(an-a_{n+1})+...m(am-a_{m+1})<epsilon。
左端≥n[(an-a_{n+1})+...(am-a_{m+1})]=n(an-a_{m+1})，即n(an-a_{m+1})<epsilon。
令m→∞，得nan<epsilon，对任意n>N成立。故nan→0。
若∑an收敛，则∑n(an-a_{n+1})=lim_{n→∞}(a1+a2+...+an-na_{n+1})。
只要证nan→0，
还是用柯西准则，对任意epsilon，存在N使得m>n>N时，an+...+am<epsilon。
取m=2n，an+...+a_2n<epsilon，左端≥(n+1)a_(2n)，即对任意n>N，2na_(2n)<2nepsilon/(n+1)<2epsilon。
取m=2n+1，an+...+a_(2n+1)<epsilon，左端≥(n+2)a_(2n+1)，即对任意n>N，
(2n+1)a_(2n+1)<(2n+1)epsilon/(n+2)<2epsilon。
故nan的奇数项子列和偶数项子列都收敛到0.故nan→0.

同收敛是什么意思？若是都收敛的话那递减也不对啊，an=1/n级数发散

应该使用级数敛散的性质来判定，但是题目貌似有问题