突破130——向量知识点的运用

4.投影：a在b上的投影L。L=|a|cos<a，b>，由于ab=|a||b|cos<a，b>
得L=ab/|b|
下面进入正题了。常见：若ab=ac，则ab/|a|=ac/|a|，可知，b，c在a方向的投影相等
下面正题
1：若a，b不共线，c满足ac/|a|=bc/|b|，则c=？由投影知识可知，c在a上的投影和c在b上的投影相等。于是c与a的夹角和c与b的夹角相等。【作图为角平分线】于是c=λ[（a/|a|）+（b/|b|）]
2：三角形ABC中，A=120°，向量m=BA/（|BA|cosA）+BC/（|BC|cosC），
向量n=CA/（|CA|cosA）+CB/（|CB|cosB），则cos<m，n>=？

要解决问题2，先解决下面基本问题：烦人的三角形问题。三角心4心问题的向量表现形式。
方法：基底表示法。
重心：重心为O，则AO=（1/3）AB+（1/3）AC，OA+OB+OC=0【这个简单，不证了】
垂心：垂心为O，则AO⊥BC，设AD垂直BC于D，则AB在AO上的投影为|AD|，
AC在AO上的投影为|AD|，AB*AD/|AD|=AC*AD/|AD|
AD=λAB+μAC，λ+μ=1【基底表示法，加共线条件】


3外心：OA²=OB²=OC²，OA*BC=0，|OA|=|OB|=|OC|。这个也没什么好讲的【实际问题需要灵活移项】
4内心：内心为O，则有|BC|OA+|AB|OC+|AC|OB=0.这个证明有很多种。
给个简单的：|BC|（OC+CA)+|AB|OC+|AC|(OC+CB)=0
LOC+|BC|CA+|AC|CB=0,L为三角形周长
得LCO/（|BC||AC|)=CA/|CA|+CB/|CB|，令λ=|BC||AC|/L
即CO=λ[（CA/|CA|）+（CB/|CB|）]，表明CO是C平分线。同理可证BO是B平分线。得O是内心。
【还是利用基底表示法】
内心还有面积形式，△OAB面积S1，△OBC面积S2，△OAC面积S3。
则有(S1)OC+(S2)OA+(S3)OB=0，可以由上式同乘以内切圆半径r得到

垂心H与外心O的关系。
若O为△外心，且OH=OA+OB+OC，则H为△垂心【等式两边为向量】
证明：OH=OA+AH=OA+OB+OC，得AH=OB+OC，而OB+OC⊥BC
得AH⊥BC，同理可得BH⊥AC，于是H为△垂心。
此关系可以证明|AH|=2|OD|，D为BC中点。这个量的关系用其他方法均要复杂些。
常见变式：OB=（1/2）（AH+BH-CH)，H为垂心，问O是？

以上问题难度较大，练习较少。用到的思想主要是向量的表示法：基地表示法。向量相等的条件：恒等式成立条件。
以下为向量巧解即相关练习【很多问题要作图】。由于时间关系，明天发。