好呀~~

今天先到这，觉得有用的希望能留个言，我好知道有多少人需要，不然自己瞎讲没人需要就没必要了，谢谢大家

有理数的分划那里，第三种情况，
不应该出现 {x|x<a} 这种写法，这个时候无理数还没有引入呢。

“后来人们发现不是所有的数都能写成两个整数的商”
这句话容易让人觉得“数”这个概念是先天存在的，
但是文章到此处，对什么才能称作为“数”并没有交代。

楼主是用 Dedekind 的手法，利用有理数的分割来定义无理数的，
而并不是架空的利用公理化的办法定义出一个抽象的实数空间，
在这种情况下，“阿基米德公理”实际上是需要，并且也能够证明的。
鉴于你别的定理都附有证明，这个又列成公理，容易让人误解这个是必须承认的事实。

我建议是直接公理化引入实数空间，这样你写起来也比较方便。
而 Dedekind 和 Cantor 的方法仅仅在公理化定义之后介绍性地提一下就是了。
类似这篇文章中做的那样：
http://wenku.baidu.com/view/f670373383c4bb4cf7ecd1da.html

非常感谢10L的建议，再此声明一下，本帖旨在帮助自学微积分的人更好的理解极限，收敛等概念和一些判定。在实数的引入方面，确实有10L所提及的不严谨之处，想了解那些严格定义的人，建议直接入手数学教材更佳。
写本帖的原因：
1.有人提出水贴太多
2.人都很懒，如果都能或者有时间能看教材严格的学习，那么10L的链接就否定了我发帖的意义。不过也许我每天写一些这样的方式，能让一些人学到些东西，我觉得这也是好的
再次声明：严格的学习请参阅教材！
另：还是请有需要我继续写的人回复一下，有一两个人即可，不然就没有意义了，谢谢

xie ba