2^n-1显然奇数
所以想要满足n|2^n-1、n也只能是奇数

考察n的最小素因子p~
利用Fermat小定理p|2^(p-1)-1
设d最小正数对p|2^d-1
对任意m=kd+r...k、r≥0！！！
2^m-1-(2^r-1)=0mod(2^d-1)
所以p|2^r-1...由d最小只有r=0~所以d|m！！
p|2^p-1、2|2^(p-1)-1~
d| n且d|p-1
与p是满足上面条件最小素数矛盾！！！

第二题就简洁多了...
只讨论n＞m就好
n=km+r
直接做除法得到
(2^n-1)/(2^m-1)=
(2^r+1)/(2^m-1)+(2^n-2^（n-km）)/(2^m-1)
由带余除法知r＜m
(2^r+1)/(2^m-1)必然不是整数
(2^n-2^（n-km）)/(2^m-1) =2^(n-km)*(2^km-1)/2^m-1是个整数


是个整数之后呢？

(2^r+1)/(2^m-1)+(2^n-2^（n-km）)/(2^m-1)
+号右边是整数
左边不是整数~整体就不是整数
(2^n-1)/(2^m-1)就不是整数所以不能整除

③

(2^r+1)/(2^m-1)为什么不是整数？不就是让证明这种形式的吗？

因为r＜m、m≥3
做个减法
(2^m-1)-(2^r+1)＞0
分子比分母小当然不是整数

第三个
同余式
a^m=1 mod（a^n-1）
满足条件的最小的值就是n！！！
有Euler定理
a^Ephi（a^n-1）=1 mod（a^n-1）
所以n|Ephi（a^n-1）
Ephi 就是Euler数论函数~

④ ：
设m和n为正整数，则在n,2n,······mn 这m个数当中恰有(m,n)个是m的倍数.

⑤ ：设n为正整数，k为正奇数。证明：

设kn=im,则i=kn/m=kn'/m',故m'|k,其中m',n'互质，。。。
题5用递推公式再归纳应该可证了
错了别说我，俺也不懂

⑥ ： 设n是正整数，证
是既约分数。