这里主要是想说明白的是：
|Gi| / |Gi+1| 的结果 其实等价于拉格朗日预解式(也就是所谓的辅助方程)的次数。
然后提出来两个问题：
1. 系数域的扩展为什么会对应于 群 缩小到它的 正规子群。
2. |Gi| / |Gi+1|为什么是必须是素数 才能使得 伽罗瓦群是可解群？

转发一段笔记：
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叙述一下Galois关于代数方程根式可解等价于它的Galois群可解这一定理的证明思路。证明的过程比比皆是，不需我多说，但是对于初学者(尤其是自学的人)来说，仍然存在一些不容易理解的地方，我想就我个人的理解去叙述一下证明的思路，这样大家自己读证明的时候会容易一些。
一个特征为0的域F上的代数方程f(x)=0根式可解，等价于这个多项式的分裂域含于某个以F开始的n根式扩张E中，这是把根式可解“翻译”成数学的语言,是解决问题的第一步。一般来说这个E不见得是域F上的Galois扩张，不利于我们应用Galois扩张的丰富知识，幸好这个限制并不是本质的，因为可以证明E的正规闭包仍是一个n根式扩张(道理很简单，把那些不足的根全部加进去就可以了)。所以我们可以假定这个n根式扩张E还是F上的Galois扩张.这时G是Gal(E/F)的子群。
在定理的证明过程中主要用到两个重要结论：
1 .Natural Irrationalities（<<代数学引论>>246页定理3）
2 .群G可解当且仅当其子群和商群都可解
这两个定理的用处下面会解释
天才的Galois发现了f(x)的Galois群G的可解性与多项式方程根式可解之间的联系。直观地说，就是当向基域F(这个基域要求含有本原n次单位根ω)中加入一个根式后，f的Galois群G要么不变，(这相当于加入的根式对解方程的根没有什么帮助)，要么变成G的一个正规子群N(相当于这个根式在f的根的表达式中出现了),且商群G/N是abel群,这是由Galois基本定理和循环扩张定理得到的。（当然也可以由Lagrange的版本，不过这时加入的是p次根式）
注意循环扩张定理的条件中要求域F含有本原n次单位根。如果我们不断地加入根式，那么方程的Galois群就不断地以这种方式“减小”，如果加入若干根式以后，方程的根都含在得到的新的域K中了，那么群G应当退化为单位群{e}.也就是群G有可解群列，反之亦然。
(1) 如果根式可解，去证Gal(E/F)也可解，由于G是Gal(E/F)的子群，从而G也可解。
(2) 如果G可解，且基域中有本原n(n是G的阶)次单位根，去证存在根式扩张塔。
但是这里有个问题，大家可能发现，前面要求基域F中要含有本原n次单位根，这个要求很重要，要特别指出，在特征为0的不含本原n次单位根的域上的n次扩张并没有一般的结论，除非n是素数。但是如果域F不含本原n次单位根怎么办？不要紧，把它加到F中去，在新的域扩张E(ω)/F(ω)中重复上面的讨论。
事实上利用自然无理性定理，(Natural Irrationalities),有Gal(E(ω)/F(ω)) ≌ Gal(K/K∩F(ω))，注意Gal(K/K∩F(ω))是群G的正规子群，而且对应的商群是交换群(Z/nZ)*的子群。所以Gal(E(ω)/F(ω))的可解性与G的可解性是等价的。