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拓扑学里，一开始对拓扑空间求奇异同调群，然后数学家们就联想到是不是能够在不同的数学领域之间找到某种联系，这是发明范畴论的动机。当然这个你是知道的。
可以说刚发明出抽象的范畴的时候，完全是形式化的。不知道它有什么更多的意义。
慢慢地，数学家发现范畴论有一个简化语言的作用：很多数学分支，发现用范畴论的语言来描述，会更简洁一些，比如代数几何里的簇和概型。于是数学家纷纷使用范畴论的语言来写书，比如你看哈茨霍恩的《代数几何》，一上来就把sheaf定义成反变函子，而sheaf的上同调也定义成求global section这个函子的导出函子；然后还喜欢把所有的variety放在一块进行考虑。然后到了coarse moduli space与fine moduli space，把它看成了可表达函子，这不就说明了范畴论已经派上了用场了么。
而后来发展到把category本身也看做是一个实体，给这个category一些“附加的结构”（就像给集盒一个拓扑结构，使他成为拓扑空间），使得我们能对category进行直接的研究（比如范畴的“局部化”），而不仅仅只是把category看做是研究module，commutative ring，algebraic variety的一个“跳板”，更是把范畴也看做是代数里的主人翁。
而后来，范畴的额外的意义就更多了，比如，甚至都可以对范畴求维数了。这不是就更好玩了吗……
可以说刚发明出抽象的范畴的时候，完全是形式化的。不知道它有什么更多的意义。
慢慢地，数学家发现范畴论有一个简化语言的作用：很多数学分支，发现用范畴论的语言来描述，会更简洁一些，比如代数几何里的簇和概型。于是数学家纷纷使用范畴论的语言来写书，比如你看哈茨霍恩的《代数几何》，一上来就把sheaf定义成反变函子，而sheaf的上同调也定义成求global section这个函子的导出函子；然后还喜欢把所有的variety放在一块进行考虑。然后到了coarse moduli space与fine moduli space，把它看成了可表达函子，这不就说明了范畴论已经派上了用场了么。
而后来发展到把category本身也看做是一个实体，给这个category一些“附加的结构”（就像给集盒一个拓扑结构，使他成为拓扑空间），使得我们能对category进行直接的研究（比如范畴的“局部化”），而不仅仅只是把category看做是研究module，commutative ring，algebraic variety的一个“跳板”，更是把范畴也看做是代数里的主人翁。
而后来，范畴的额外的意义就更多了，比如，甚至都可以对范畴求维数了。这不是就更好玩了吗……
