网页资讯视频图片知道文库贴吧地图采购
进入贴吧全吧搜索
相对论吧 关注：85,411贴子：1,190,914

关于拉格朗日函数的一个问题

只看楼主收藏回复

先说一下我对Hamilton‘s principle的理解
如果认为牛顿力学是公理的话，我认为之所以Hamilton‘s principle可以得出和牛顿力学相同的结果，只不过是因为让L=T-U之后，在用变分法求极值得到拉格朗日方程的时候，方程正好等价于牛顿第二定律罢了，我只见到过在自有条件下拉格朗日方程等价于牛顿第二定律的证明。没见过有限制条件下二者等价的证明，但也一直在用那个undetermined multipliers的方法。
问题就是：
各位是否见过一般条件下的证明，我想知道，告诉我哪有就行，我自己去看。
或者我在对Hamilton‘s principle的理解上有问题的话，也请指点一下~
多谢
1楼2012-04-08 14:45回复
    广义力和广义加速度本来就不满足Q=mq''。
    举个简单的例子，力矩=角加速度×转动惯量，而不是力矩=角加速度×质量。
    IP属地:山东2楼2012-04-08 14:51
    回复
      2026-02-13 05:55:35
      广告
      不感兴趣
      开通SVIP免广告
      不是这个意思，自由条件（外力都是保守力）下拉格朗日方程等价于牛顿第二定律的证明如下：
      直角坐标系下得拉格朗日方程∂L/∂xi-d(∂L/∂xi')/dt=0,第一项∂(T-U)/∂xi=∂T/∂xi-∂U/∂xi=-∂U/∂xi(因为T函数不显含xi）所以第一项就是合外力F=-∂U/∂xi
      第二项因为U不显含xi',所以∂(T-U)/∂xi'=∂T/∂xi'=mxi’，d(∂L/∂xi')/dt=mxi''
      于是拉格朗日函数变成了F=-∂U/∂xi=∂L/∂xi=d(∂L/∂xi')/dt=mxi''这就
      等价于牛顿第二定律了
      3楼2012-04-08 15:14
      回复
        这么说吧，广义的牛顿第二定律的表述为：广义力=广义动量的变化率。——这种表述是普适的，只要把拉格朗日方程中∂L/∂q那一项移到等号右边去即可。
        在有约束的时候，动量的定义只能是p=∂L/∂q'，而不是p=mq'，∂L/∂q'=mq'只有在极少数广义坐标的选取下才成立。
        这样楼主应该可以明白了吧？
        IP属地:山东4楼2012-04-08 15:16
        回复
          问题在于这个证明是外力均为保守力，如果外力有支持力等非保守力的话，就要用到undetermined multipliers来解，也就是说有费保守力，拉格朗日方程也应该和牛二等价。我想问的是后者怎么证明。
          补充一句，所有的前提是我以牛顿力学为公理，所以需要证明拉格朗日函数和牛二等下（在有支持力等非保守力的条件下，先不考虑摩擦耗散）
          5楼2012-04-08 15:16
          回复
            这样重新定义牛二确实就解决了问题，不过这样在直角坐标系的牛二就是广义的一个子集了。
            我觉得至少都选用直角坐标系的时候，拉格朗日函数和牛二应该是等价的，如果直角坐标系中等价了，那么广义坐下也就等价了。但我不知道如果有限定条件的话怎么证明
            （我不是要证明Q=mq''，用广义坐标的话，这个m不能用惯性质量我知道）
            6楼2012-04-08 15:27
            回复
              你这么问那岂不是很简单了：有约束条件的话，广义坐标不再是三个，但空间却依然是三维空间，加速度的分量无疑仍然是三个——这种情况你怎么对上号？
              这种情况下，广义坐标和位形坐标之间无法存在线性变换关系了，无法获得对应形式岂不很正常？
              从物理角度这也很好说：你把约束力给无缘无故忽略掉了，不出错才不对呢。
              IP属地:山东7楼2012-04-08 15:35
              回复
                有道理，脑残了，也就是说在有约束条件的时候，在直角坐标系下的拉格朗日函数不能表示成
                L（xi，xi',t)=T(xi')-U(xi),因为这样的话就把约束力忽略掉了。
                那就用广义坐标，那么我原来的问题就变成了如何证明在有约束条件的情况下，广义坐标下得到的拉格朗日方程，等价于直角坐标系下的牛顿第二定律。
                前提还是只把直角坐标系下的牛顿力学作为公理，这样还是需要证明二者等价的
                也就是证明∂L/∂qj-d(∂L/∂qj')/dt=0这个方程等价于-∂U/∂xi+Fi=mxi''
                Fi是约束力在i方向的分量，给定给定xi=xi（qj，t）（括号里的qj代表所有广义坐标）
                8楼2012-04-08 15:55
                回复
                  2026-02-13 05:49:35
                  广告
                  不感兴趣
                  开通SVIP免广告
                  是证明∂L/∂qj-d(∂L/∂qj')/dt=0在有约束条件的情况下等价于-∂U/∂xi+Fi=mxi''
                  9楼2012-04-08 16:03
                  回复
                    还在吗吧主？
                    我认为拉格朗日方程和牛顿力学二者的等价性是应该要证明的
                    如果定义广义牛二的话，就相当于以拉格朗日方程为公理了。
                    那么还是需要证明在以拉格朗日方程为公理的时候，能推出“狭义”的牛顿第二定律吧
                    10楼2012-04-08 16:36
                    回复
                      m不是质量也未必行。
                      有的时候，广义动量还可能根本就无法写成“某个参量×广义速度”——你怎么办？这时你把m广义化也没用。
                      所以广义的牛II定律只能说力=动量变化率，而不能说力=加速度×某参量。
                      IP属地:山东12楼2012-04-08 17:37
                      回复
                        从原始牛顿第二定律推出拉格朗日方程的方法，理论力学教材里大都有详细过程。
                        你把那个过程逆过来，不就可以了么？当然这个过程中需要注意上面提到的一些限制条件——因为拉格朗日方程更为普适一些，所以它需要一定的限定才能得出狭义的牛II定律，而由牛II推出它则不需要。
                        IP属地:山东13楼2012-04-08 17:42
                        回复
                          呃。。。因为好久没人理我，我就又开了个贴刚刚。你的意思是二者不完全等价吗？
                          我看过Classical Dynamics by Thornton and Marion还有classical_mecha_gold？stein_3ed这两本书。前者在证明二者等价的时候都没有讨论外力存在约束力的情况，后者并未证明二者等价。所以我才来问问看具体哪本书里面有一般情况的证明?
                          而且拉格朗日函数可以表示为L=T-U有很多限制条件。在约束条件不能用f（x，x'，t）=0表示
                          的时候是不是L=T-U就不行了。
                          
                          14楼2012-04-08 17:55
                          回复
                            貌似第二本书的第一章有讲，我再看看。。。
                            15楼2012-04-08 18:04
                            回复
                              2026-02-13 05:43:35
                              广告
                              不感兴趣
                              开通SVIP免广告
                              呵呵，之前你的说法一直让人有所误解。
                              拉格朗日方程和牛顿定律等价——在力学框架下，这是没问题的。
                              拉格朗日方程的好处在于回避约束，减少要求解的方程数量。但是显然，用数学技巧回避过去使其不需要另列方程求解，不等于约束力就真没有了。
                              要是把约束力也放进来当成主动力，拉格朗日方程和牛顿定律自然等价。——牛顿定律可不管你的力是主动力还是约束力，但凡是力就得放进来列方程求解，而这些力的方程当然也和拉格朗日方程一致，所以两者在力学框架下等价。但这种情况对于你所说的那些章节的讲解而言，属于徒增麻烦，没有什么意义，所以书上都选了最简单的无约束方法。
                              IP属地:山东16楼2012-04-08 18:15
                              回复

                                扫二维码下载贴吧客户端

                                下载贴吧APP
                                看高清直播、视频！
                                发表回复
                                发贴请遵守贴吧协议及“七条底线”贴吧投诉
                                内  容:
                                  查看全部
                                发 表
                                保存至快速回贴

                                发布成功
                                去贴吧APP订阅抽奖结果通知
                                扫码进入贴吧APP
                                ···········
                                开奖后第一时间站内信通知
                                ···········
                                中奖结果全员公示