解方程y''=-y,y=sinx=C1e^ix+C2e^-ix,然后就把欧拉公式猜出来了

牛。。。

不是，从 对解空间的秩 的 证明 中来的……
假设特征方程有两个等根r，则
作g=ye^(-rx)
g'=y'e^(-rx)-rye^(-rx)
g''=y''e^(-rx)-2ry'e^(-rx)+r^2ye^(-rx)=(y''-2ry'+r^2)e^(-rx)=0
所以g'是常数，g = integrate g'dx = C1 x + C2
y = ge^(rx) = (C1 x + C2)e^(rx)
带入验证，确实如此。
选择两个特解e^(rx)和xe^(rx)，它们张成了原来方程的解空间。

膜拜，一会写小本本上