想学几何分析, 最好先学一年的Riemann几何。伍鸿熙先生的书当属首选，当然伍先生的书（包括初步和选讲两本书）还远远不够。如果有时间要通读Petersen。一个不懂Riemann几何的人，很难想象能学好Riemann流形上的PDE.
目前，偶正在从头读Petersen，到CH6。以前读过最后三章，觉得那是全书精华，但还是推荐通读之。
学几何分析，我个人的感受，第二个最重要的是学精PDE的经典和现代的理论。现代PDE理论，根植于线性算子理论和非线性泛函分析之中。因此要对Banach空间中的线性算子理论和非线性泛函分析中的各种方法都非常熟悉，特别地个人觉得Nash-Moser的隐函数定理在分析学中确系神乎其神的东西，若有兴趣务必搞懂。目前吾虽苦读而不得要领，但见到其威力强大的令人震撼。剩下来的才是PDE中最要命的各种先验估计了，如果能对PDE的这些东西都很熟了……
请看Yau的微分几何讲义，这时会发现原来这本书的一切都是那么地简单。美没有前面的准备，我保证Yau的书读起来是很艰难的。当然这本书只是几何分析的一个很小的部分，更多的部分是各种流的理论。如果Riemann几何和PDE这两门学的像数学分析一样熟了，大胆去念Ricci flow或mean curvature flow吧，因为万事具备。
最后，说说拓扑。很多人推荐BOTT的书--代数拓扑中微分形式。这本书满篇都是同调论，个人不是很看好它，觉得最好先看马天的“流形的拓扑学”，虽然很多定理证的不很严谨，但非常直观，我相信这对几何学家来说是绝对重要的。除非你打算打着几何的名义玩玩分析，那另当别论了。如果想理解3维流形的几何化纲领，务必花时间看看低维拓扑学，特别是3维流形的素分解、JSJ分解等等。
讲了这些，最后，几何分析的问题或者目的，都要回到Riemann几何的框架之中。几何分析是几何的一部分，做的东西最好不要完全是分析。
目前，偶正在从头读Petersen，到CH6。以前读过最后三章，觉得那是全书精华，但还是推荐通读之。
学几何分析，我个人的感受，第二个最重要的是学精PDE的经典和现代的理论。现代PDE理论，根植于线性算子理论和非线性泛函分析之中。因此要对Banach空间中的线性算子理论和非线性泛函分析中的各种方法都非常熟悉，特别地个人觉得Nash-Moser的隐函数定理在分析学中确系神乎其神的东西，若有兴趣务必搞懂。目前吾虽苦读而不得要领，但见到其威力强大的令人震撼。剩下来的才是PDE中最要命的各种先验估计了，如果能对PDE的这些东西都很熟了……
请看Yau的微分几何讲义，这时会发现原来这本书的一切都是那么地简单。美没有前面的准备，我保证Yau的书读起来是很艰难的。当然这本书只是几何分析的一个很小的部分，更多的部分是各种流的理论。如果Riemann几何和PDE这两门学的像数学分析一样熟了，大胆去念Ricci flow或mean curvature flow吧，因为万事具备。
最后，说说拓扑。很多人推荐BOTT的书--代数拓扑中微分形式。这本书满篇都是同调论，个人不是很看好它，觉得最好先看马天的“流形的拓扑学”，虽然很多定理证的不很严谨，但非常直观，我相信这对几何学家来说是绝对重要的。除非你打算打着几何的名义玩玩分析，那另当别论了。如果想理解3维流形的几何化纲领，务必花时间看看低维拓扑学，特别是3维流形的素分解、JSJ分解等等。
讲了这些，最后，几何分析的问题或者目的，都要回到Riemann几何的框架之中。几何分析是几何的一部分，做的东西最好不要完全是分析。
