矮油。。。1、直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y = f ( x) 的取值范围。 、直接法： 的范围出发， 的取值范围。 例 1：求函数 y = x + 1 的值域。 解：∵ x ≥ 0 ，∴ x + 1 ≥ 1 ， ∴函数 y = x + 1 的值域为 [1, +∞) 。
2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F ( x) = af 2 ( x) + bf ( x) + c 的函数的值域问题，均可使用配方法。 的函数的值域问题，均可使用配方法。 例 2：求函数 y = x 2 + 4 x + 2 （ x ∈ [1,1] ）的值域。 解： y = x 2 + 4 x + 2 = ( x 2) 2 + 6 ， ∵ x ∈ [1,1] ，∴ x 2 ∈ [ 3, 1] ，∴ 1 ≤ ( x 2) 2 ≤ 9 ∴ 3 ≤ ( x 2) 2 + 6 ≤ 5 ，∴ 3 ≤ y ≤ 5 ∴函数 y = x 2 + 4 x + 2 （ x ∈ [1,1] ）的值域为 [ 3,5] 。 3、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过 、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系， 求反函数的定义域，得到原函数的值域。 求反函数的定义域，得到原函数的值域。 例 3：求函数 y =
1 2x 的值域。 1 + 2x
1 y 1 2x 解：由 y = 解得 2 x = ， x 1+ 2 1+ y
∴ 1<y<1
∵ 2 x>0 ，∴
1 y>0， 1+ y
1 2x ∴函数 y = 的值域为 y ∈ (1,1) 。 1 + 2x
4、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法， 、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法， 此类问题一般也可以利用反函数法。 此类问题一般也可以利用反函数法。 1 x 例 4：求函数 y = 的值域。 2x + 5
1
1 7 7 (2 x + 5) + 1 x 1 2 = + 2 ， 解：∵ y = = 2 2x + 5 2x + 5 2 2x + 5 7 1 1 x 1 ∵ 2 ≠ 0 ，∴ y ≠ ，∴函数 y = 的值域为 { y | y ≠ } 。 2x + 5 2 2x + 5 2 5、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数， 、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，
从而求得原函数的值域， 均为常数， 从而求得原函数的值域，形如 y = ax + b ± cx + d （ a 、 b 、 c 、 d 均为常数， 的函数常用此法求解。 且 a ≠ 0 ）的函数常用此法求解。 例 5：求函数 y = 2 x + 1 2 x 的值域。 解：令 t = 1 2 x （ t ≥ 0 ） ，则 x =
1 t2 ， 2
1 5 1 3 5 ∴ y = t 2 + t + 1 = (t ) 2 + ∵当 t = ， x = 时，ymax = ， 即 无最小值。 2 4 2 8 4 5 ∴函数 y = 2 x + 1 2 x 的值域为 (∞, ] 。 4
6、判别式法：把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y ) = 0 ；通过方程有 、判别式法： 实数根， 从而求得原函数的值域， 实数根，判别式 ≥ 0 ，从而求得原函数的值域，形如 y =
a2 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。 a1 x 2 + b1 x + c1 （ a1 、 a2 x 2 + b2 x + c2
例 6：求函数 y =
x2 x + 3 的值域。 x2 x + 1
解：由 y =
x2 x + 3 变形得 ( y 1) x 2 ( y 1) x + y 3 = 0 ， 2 x x +1
当 y =1 时 ， 此 方 程 无 解 ； 当 y ≠1 时 ， ∵ x∈R ， ∴
= ( y 1) 2 4( y 1)( y 3) ≥ 0 ，
解得 1 ≤ y ≤
11 11 ，又 y ≠ 1 ，∴ 1<y ≤ 3 3
2
x2 x + 3 11 ∴函数 y = 2 的值域为 { y |1<y ≤ } x x +1 3
7、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单 、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集） 调性，求出函数的值域。 调性，求出函数的值域。 例 7：求函数 y = x 1 2 x 的值域。 解： ∵当 x 增大时， 2x 随 x 的增大而减少， 1 2 x 随 x 的增大而增大， 1
1 ∴函数 y = x 1 2 x 在定义域 (∞, ] 上是增函数。 2
∴y≤
1 1 1 1 1 2 × = ，∴函数 y = x 1 2 x 的值域为 (∞, ] 。 2 2 2 2
8、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。 、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。 例 8：求函数 y = x2 1 的值域。 x2 + 1
y +1 （ x∈ R ， y ≠1） ， y 1
x2 1 的值域为 { y | 1 ≤ y<1} x2 + 1
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 R ，对函数进行变形可得
( y 1) x 2 = ( y + 1) ，
∵ y ≠ 1 ，∴ x 2 =
∴
y +1 ≥ 0 ，∴ 1 ≤ y<1 ， y 1
∴函数 y =
9、图像法（数型结合法） 函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形 、图像法（数型结合法） 函数图像是掌握函数的重要手段， ：函数图像是掌握函数的重要手段 ： 结合的方法，根据函数图像求得函数值域 是一种求值域的重要方法。 值域， 结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。 例 9：求函数 y =| x + 3 | + | x 5 | 的值域。
y
2 x + 2 ( x<3) 解：∵ y =| x + 3 | + | x 5 |= 8 (3 ≤ x<5) ， 2 x 2 ( x ≥ 5)
∴ y =| x + 3 | + | x 5 | 的图像如图所示， 由图像知：函数 y =| x + 3 | + | x 5 | 的值域为 [8, +∞)
2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F ( x) = af 2 ( x) + bf ( x) + c 的函数的值域问题，均可使用配方法。 的函数的值域问题，均可使用配方法。 例 2：求函数 y = x 2 + 4 x + 2 （ x ∈ [1,1] ）的值域。 解： y = x 2 + 4 x + 2 = ( x 2) 2 + 6 ， ∵ x ∈ [1,1] ，∴ x 2 ∈ [ 3, 1] ，∴ 1 ≤ ( x 2) 2 ≤ 9 ∴ 3 ≤ ( x 2) 2 + 6 ≤ 5 ，∴ 3 ≤ y ≤ 5 ∴函数 y = x 2 + 4 x + 2 （ x ∈ [1,1] ）的值域为 [ 3,5] 。 3、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过 、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系， 求反函数的定义域，得到原函数的值域。 求反函数的定义域，得到原函数的值域。 例 3：求函数 y =
1 2x 的值域。 1 + 2x
1 y 1 2x 解：由 y = 解得 2 x = ， x 1+ 2 1+ y
∴ 1<y<1
∵ 2 x>0 ，∴
1 y>0， 1+ y
1 2x ∴函数 y = 的值域为 y ∈ (1,1) 。 1 + 2x
4、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法， 、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法， 此类问题一般也可以利用反函数法。 此类问题一般也可以利用反函数法。 1 x 例 4：求函数 y = 的值域。 2x + 5
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1 7 7 (2 x + 5) + 1 x 1 2 = + 2 ， 解：∵ y = = 2 2x + 5 2x + 5 2 2x + 5 7 1 1 x 1 ∵ 2 ≠ 0 ，∴ y ≠ ，∴函数 y = 的值域为 { y | y ≠ } 。 2x + 5 2 2x + 5 2 5、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数， 、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，
从而求得原函数的值域， 均为常数， 从而求得原函数的值域，形如 y = ax + b ± cx + d （ a 、 b 、 c 、 d 均为常数， 的函数常用此法求解。 且 a ≠ 0 ）的函数常用此法求解。 例 5：求函数 y = 2 x + 1 2 x 的值域。 解：令 t = 1 2 x （ t ≥ 0 ） ，则 x =
1 t2 ， 2
1 5 1 3 5 ∴ y = t 2 + t + 1 = (t ) 2 + ∵当 t = ， x = 时，ymax = ， 即 无最小值。 2 4 2 8 4 5 ∴函数 y = 2 x + 1 2 x 的值域为 (∞, ] 。 4
6、判别式法：把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y ) = 0 ；通过方程有 、判别式法： 实数根， 从而求得原函数的值域， 实数根，判别式 ≥ 0 ，从而求得原函数的值域，形如 y =
a2 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。 a1 x 2 + b1 x + c1 （ a1 、 a2 x 2 + b2 x + c2
例 6：求函数 y =
x2 x + 3 的值域。 x2 x + 1
解：由 y =
x2 x + 3 变形得 ( y 1) x 2 ( y 1) x + y 3 = 0 ， 2 x x +1
当 y =1 时 ， 此 方 程 无 解 ； 当 y ≠1 时 ， ∵ x∈R ， ∴
= ( y 1) 2 4( y 1)( y 3) ≥ 0 ，
解得 1 ≤ y ≤
11 11 ，又 y ≠ 1 ，∴ 1<y ≤ 3 3
2
x2 x + 3 11 ∴函数 y = 2 的值域为 { y |1<y ≤ } x x +1 3
7、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单 、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集） 调性，求出函数的值域。 调性，求出函数的值域。 例 7：求函数 y = x 1 2 x 的值域。 解： ∵当 x 增大时， 2x 随 x 的增大而减少， 1 2 x 随 x 的增大而增大， 1
1 ∴函数 y = x 1 2 x 在定义域 (∞, ] 上是增函数。 2
∴y≤
1 1 1 1 1 2 × = ，∴函数 y = x 1 2 x 的值域为 (∞, ] 。 2 2 2 2
8、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。 、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。 例 8：求函数 y = x2 1 的值域。 x2 + 1
y +1 （ x∈ R ， y ≠1） ， y 1
x2 1 的值域为 { y | 1 ≤ y<1} x2 + 1
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 R ，对函数进行变形可得
( y 1) x 2 = ( y + 1) ，
∵ y ≠ 1 ，∴ x 2 =
∴
y +1 ≥ 0 ，∴ 1 ≤ y<1 ， y 1
∴函数 y =
9、图像法（数型结合法） 函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形 、图像法（数型结合法） 函数图像是掌握函数的重要手段， ：函数图像是掌握函数的重要手段 ： 结合的方法，根据函数图像求得函数值域 是一种求值域的重要方法。 值域， 结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。 例 9：求函数 y =| x + 3 | + | x 5 | 的值域。
y
2 x + 2 ( x<3) 解：∵ y =| x + 3 | + | x 5 |= 8 (3 ≤ x<5) ， 2 x 2 ( x ≥ 5)
∴ y =| x + 3 | + | x 5 | 的图像如图所示， 由图像知：函数 y =| x + 3 | + | x 5 | 的值域为 [8, +∞)
我承认我数学老师也去的早.
