a+b*三次根号下2+c*三次根号下4 证明它是数域

童鞋的问题
除法不会
求高手解答

分母有理化，比如分母是1+5根(2)-7根(4)，就乘上1+5根(2)+7根(4)，这样乘积就不含根(4)，接下去再消根(2)
不要重复发帖

同问，似乎用多项式环能解决，但不是很明朗。楼上注意是三次根号，不是那么容易有理化的。

先思考下

记S={a+b*三次根号2+c*三次根号4|a,b,c为有理数}
加减乘法封闭性是显然的
记x=a+b*三次根号2+c*三次根号4
利用u^3+v^3+w^3-3uvw=(u+v+w)(u^2+v^2+w^2-uv-vw-wu)(*)
取u=a,v=b*三次根号2,w=c*三次根号4，即得
1/x=1/(u+v+w)=(u^2+v^2+w^2-uv-vw-wu)/(u^3+v^3+w^3-3uvw)
由于1/(u^3+v^3+w^3-3uvw)=1/(a^3+2b^3+4c^3-6abc)是有理数
u^2+v^2+w^2-uv-vw-wu属于S，因此1/x属于S
对于任意y属于S，y/x=y*(1/x)，由乘法封闭性，y/x属于S，证毕
其实用的是一个初中技巧。

...