上面的数学题第一道:
第一问:
x>0时,f(x)=ax+ln x;
那么由f(x)为奇函数,可得
x<0时,f(x)=-f(-x)=-(-ax+ln (-x))=ax-ln (-x)
又由奇函数必有f(0)=0,
三者联立可得解析式。
第二问:
x<0时,f(x)=ax-ln (-x)
则,f'(x)=a- 1/x
由f(x)在x<-1时为单调递减,
可知f'(x)在x<-1时均小于0
由x<-1可推出a- 1/x<a+1
要使不等式左式小于0,则不等式右式必小于等于0
则a+1≤0,即a≤-1。
第三问:
(f(e)-f(1))/(e-1)=a+ 1/(e-1)
而f'(ξ)=a+ 1/ξ。
则当ξ=e-1∈(1,e)时,f'(ξ)=(f(e)-f(1))/(e-1)
即存在ξ∈(1,e),使f'(ξ)=(f(e)-f(1))/(e-1)。
得证
PS:我还以为第三问是微积分的中值定理呢,吓了一跳
第一问:
x>0时,f(x)=ax+ln x;
那么由f(x)为奇函数,可得
x<0时,f(x)=-f(-x)=-(-ax+ln (-x))=ax-ln (-x)
又由奇函数必有f(0)=0,
三者联立可得解析式。
第二问:
x<0时,f(x)=ax-ln (-x)
则,f'(x)=a- 1/x
由f(x)在x<-1时为单调递减,
可知f'(x)在x<-1时均小于0
由x<-1可推出a- 1/x<a+1
要使不等式左式小于0,则不等式右式必小于等于0
则a+1≤0,即a≤-1。
第三问:
(f(e)-f(1))/(e-1)=a+ 1/(e-1)
而f'(ξ)=a+ 1/ξ。
则当ξ=e-1∈(1,e)时,f'(ξ)=(f(e)-f(1))/(e-1)
即存在ξ∈(1,e),使f'(ξ)=(f(e)-f(1))/(e-1)。
得证
PS:我还以为第三问是微积分的中值定理呢,吓了一跳











