一开始停留在整数的应用阶段，企图将自然界的所有问题转化为数学问题，纯用整数来构造所有解答式（毕达哥拉斯时期的数学）。后来发现存在一些不能转化为整数系列的表达式的无理数（如√2与π之流），此后陆续有数系的拓展，但终究仍然以十进制自然数系统为主干来表达【数】。
自笛卡尔用坐标系“点对数的一一对应关系”让代数与几何得到某种程度的统一后，数学得到发展上真正的飞跃，搞出了很多我至今仍然不理解的数学技巧（这是我本人的原因导致的），但这所有技巧我都未看出有能不使用自然数系统的地方。


当年牛顿因为解决物理问题的需要而创立了微积分推动数学的发展，可见自然界与数学之间的那种直接与间接的关联多么微妙：除了资源分配问题导致的计算外，物体运动导致的变化仍属于数学的研究范畴。
我看到数学在物理学中的一个突出特点。若抛开计算式的物理意义，那些计算实是十分普通的代数运算，而且普通到是纯粹为了做计算训练而看不到数字结构上的美感的计算。一旦赋予物理意义，普通的计算立刻有了精妙之处：计算结果与自然事实的协调一致，是科学中最有美感的对比。
物理学与几何学都采用了同样的的手段去做这种数学应用，即是赋予运算符以物理特性或几何特性，而令它们有着不同的【单位】。此即我之前曾说的，同单位者放任四则元算，不同单位者以乘除的方式统一单位而继续放任。
有了不同的单位，同样的数值也有不同的意义，这是一种分离：用“单位的不同”对“一致的数值”的分离，这种分离显然拓展了代数的应用领域。


个十百千万。。。。。这类单位的递进在自然数系统中本就具备，这些单位的设置主要是面向实际而作的简化表述。“米、平方米、立方米”这类单位的设置才真正体现了一种层次上的分离。
若我将每一个【单位】视为一个时空层，将对单位的“分化与合并”看做是对时空层的“分离与整合”，如此在理解上不知能否带来一些增益？
还有一个需要反思的问题：不同单位的数量，为什么通过【乘除】来统一单位？
【乘法】最初仅是对特殊加法的简便表达，让同样的数的叠加不用那么麻烦地要一一例举出来，而用乘法简化之。这种形式简化的确比纯粹的加法多出了一个单位，因为它其中有一个因数是对另一个因数的统计，单位是【个】。而另一个因数即便单位也是【个】，也不是对前一个因数的统计，而是对其他量的描述。
上述乘法的结果仅保留【对其他量的描述】的那个因数的单位。若将这种“仅保留其一”视为乘法的特殊情况，而强调任何乘法的使用都是不同单位之间的数量统计，那么关于为何【乘除】能用以统一单位的问题就勉强消解了。
只是，还应给出明确的关于“乘法的特殊情况与一般情况之间的区别？”这个问题的回答。


上述状况表明了，数学作为思维最原始的【分离与整合】的理论化，它并不能涵盖自然界的一切，自然界包含了比原始的【分离与整合】更复杂的结构与变化方式。这是为何仍然存在物理、化学、生物、人文、地理、社会、哲学等的学科的原因。
数学中还有一些数很有趣，它们有趣在似乎不能带上【单位】，它们大多是用乘法的逆运算【除法】得到的，人称无理数。【除法】表面上说是【乘法】的逆运算，它却不那么乖巧地只是重复乘法所做过的运算，它反而构造出了更多的新数，拓展了数系结构。
1/3 作为一个无限循环小数，在日常生活中我们能赋予它以【个、块】作为单位，说1/3个、1/3块。但其实从来没有对它精确到位，它得到那个单位仅是因为【1整块、1整个】做到了精确。这个例子或许是因为比较常用于生活中才得到单位的，如√2、π之流，几乎不会被赋予单位。这些无限不循环小数没有单位，它以什么意义存在于数学运算之中？
π是一个理想的圆的周长与直径之比，周长与直径的单位是一致的，用除法统一单位的话就将单位去掉了。这样说来，π是一个不可能得到单位的数，因为它本身的定义式中已经自消了单位。
这就是所谓的纯数学领域了吧，无视单位而只关注抽象的数学形式。单位是将数学应用于现实之时所产生的附带品。


你这样回复，会使你的回复的亮点不再你的内容之中，而在你的心理之中
即：人们更有兴趣知道，为什么你不干脆指出一两个带单位的无理数来？

在涉及数学分析以及几何学的时候，有时候单位的必要性也不容忽视。。。。纯数学又不是那么不理睬单位了。
7个国际基本单位并没有【个】，【个】太偏人文。

不要只看一个【米】，点、线、面等的几何体的量化必然在单位上分别出来。。。。。计算公式中本身就采用了【乘积式】来统一单位

太牵强了，等若于将一个无理数视作单位1，然后用来衡量其他量。。。。
将π作为单位1，去度量任意圆的周长，那么答案将会是有理数——其代数直径的长度。但这并非是赋予π以【单位】，而是将它整体化为【单元】。
傅立叶变换是针对一个函数过程或者热过程发出的，它不可能让一个作为常数的无理数“突兀”地得到单位
我在正文中已然表示，无理数之所以难有单位，是因为它们大多用除法构造出来，而除法上的除数与被除数的单位若是一致的，则无理数单位自消而无单位。因而在物理学上的电信号之间的函数关系可能造就带单位的无理数（余弦、正弦的幅值）
它们同样仅是作为理论值而存在，事实上真正带单位的数值不精确为理论值（误差 OR 无限在事实中不存在）。

你在自言自语？
为何你不明确的例举出哪怕一个带单位的无理数？比如√2 米/秒 也罢
你要从理论上证明单位在赋予上的任意性，也是通过定义【什么是单位】而确定【数在什么时候有单位】。。而不是扯傅立叶变换，我已表示它所针对的【对象】不是个体，而是过程。

早知要如此收场，早先你就不应拍脑袋下妄断了，自洽与圆场也变得困难
弄得此后你的回复，全然没有针对性，或者针对的是你脑中自建的以我的ID为名的假想敌
可惜了此贴的标题【初等数学】，后面原来是高深的【傅立叶变换】呵

你如此自欺欺人地将你的无能怪罪到我的“数学水平”之中，我是否可将你的窘迫归罪于你的“智商水平”之中呢？
你此时的窘迫确实地存在并在你心中回荡，而你对我的归纳判断却在假定1“你拥有更高的数学水平，并且有部分恰好是我缺乏的，并且该部分恰好被此贴正文反映出来，你恰好抓住并正确的、完整的指出来了”这种苛刻前提下才有成立可能
可惜你的回复所表现出来的答非所问，使“你的判断是自欺的”这个结论有更高的【真】的概率