你的老师真是业余的厉害

多项式看情况,整系数多项式和有理系数多项式、实数系数多项式是完全不一样的
因为整数是一个环,而有理数是一个域
整系数多项式和整除性等等关系紧密,和矩阵分解有很大关系
伽罗华已经证明了,超过四次的方程没有求根公式
更高次数的实系数多项式的数值求根是转换为它的友阵,然后计算友阵的特征值来计算的
至于未知数的增多,这个是大规模线性方程组的求解问题,特别是超大规模的线性方程组求解,包括稀疏矩阵的存储等等,这个和高性能计算、并行计算等等关系密切
但是这些都是偏向数值代数、数值分析的内容,和代数的主流相差远矣
代数的你首先要了解抽象代数,从群、环、域的观点理解数学
发展方向应该是代数几何吧