高斯与黎曼几何
古典的几何学者在讨论三维空间中的曲面时，他们留意到曲面上每一点的曲率，都有两个不同的选择。比如在一个圆柱面上，一个方向是沿其横切的圆，另一个则是沿垂直线。
高斯在1827年发现这两个曲率的乘积具有惊人的属性。当我们令曲面在空间变型，只要它没有拉长缩短，这个积是不变的！后世称这个积为高斯曲率。
内蕴几何
高斯把这条定理写入《曲面通论》一书中。他指出必须把曲面的内在性质，即身处曲面内扁小甲虫所经验的属性，与其外在的，即依赖于曲面如何置于空间的性质区分开来，而只有内在性质，才值得“几何学家焚膏继晷，兀兀穷年地上下求索”。后世称研究这些性质的学问为内蕴几何。
高斯曲率决定曲面的内蕴几何
从球面剪取一片曲面，其高斯曲率为正常数。反过来说，局部而言，任何具正常曲率的曲面都可以等距地映射成球面的一部分。
类似地，从双曲曲面剪取的一片，其高斯曲率恒等于―1，而反过来说曲率等于―1的曲面与双面曲面局部相等。双曲曲面曾在讨论欧氏第五公理时论及。
高斯对几何的深思
高斯显然因他的定理兴奋不已。但他并没有认为人们对空间已认识透彻。
高斯：“我愈来愈相信，人类的理性并不能证明或理解几何的必要性。也许后世能对空间的本质有新的洞见，但目前这却是不可能的事。”
物理学的影响
高斯：“当下我们不能把几何与本质是先验的算术相提并论，只适宜将它与力学并列。”
抽象空间（现代几何学的诞生）
高斯研究的是二维曲面内的几何，高维流形的内蕴几何是由黎曼提出的。他在他的教授就职演说《建构几何学的假设》中，利用尺度的无限小形式，引入了抽象空间，在那里高斯曲率有了明确的涵义。这是一个重要的时刻，人们终于摆脱了平坦的欧氏（线性）空间，而成功创造一个自我生存的“内蕴”空间了。
黎曼在1852年的就职演说
在无穷小区域内几何诸假设是否真确，与空间尺度关系的本质有关 …。
要回答这个问题，就必须从这些现象的有关概念入手。这些源于经验的概念，是先由牛顿所奠基，并且透过它们所不能解释的事实而改动，渐臻完备 …。
如此这般，我们便离开了几何，进入另一门科学，即物理的领域了。
黎曼几何
黎曼的新发现从根本上改变了数学家对几何的看法。从此以后，几何学家研究的空间不再依赖于欧氏空间，我们独立地讨论抽象空间的几何了。他的后继者Christoffel、Ricci、Levi-Civita和Beltrami开拓了流形上的微积分和张量分析等研究。不过对绝大多数人而言，这些高维抽象空间要不是枯燥无味，就是跟大自然风马牛不相及。
狭义相对论的背景
第一个对牛顿绝对空间提出具建设性质疑的是奥地利学者马赫。他认为惯性坐标受到地球和其它天体的影响。这项假设被称为马赫原理。
一个极为重要的事实却是麦克斯韦发现光乃是电磁波，其速度与惯性坐标无关，恒为常数。不久又发现了麦氏电磁方程容纳洛伦兹变换为对称群。
时空一体
爱因斯坦于1905年提出狭义相对论。其中一个重要的环节乃是：空间和时间藉着洛伦兹变换融合起来了。
Minkowski（1908）：“从今以后，单独的空间和单独的时间都将逐渐消失在阴影之中，唯有两者的融合才能保持独立的存在。”
广义相对论：爱因斯坦的时空
狭义相对论认为，任何信息的传递不能超过光速，这与牛顿力学“两个物体之间的引力作用在瞬间传递，即以无穷大的速度传递”的观点相矛盾。
爱因斯坦写信给Sommerfeld：“我现在正全身心地投入到引力问题的研究 …，有一点是肯定的，我这一生从未如此烦恼过。”
引力场、加速度和几何学
引力是力场的一种，它使物体加速。由于狭义相对论的要求，在与速度平行的方向，速度加快使长度加长，在与速度垂直的方向，长度不变。测量长度的尺规会在不同的方向和点改变正是黎曼几何的特点。


等价原理
在1907年，爱因斯坦首次提出引力的等价原理。
爱因斯坦花了十年的功夫,才把狭义相对论和牛顿的引力理论结合起来。之所以花了这么多时间,理由之一是他对数学上的抽象空间不大了解。只有当他的友人Grossmann指出后,他才明白黎曼张量满足等价原理,黎曼曲率的大小可以让度量拉长或收缩,这正符合他的需要。
能量守恒定律和Bianchi等式
物理学中的等价原理要求引力的定律与坐标的选取无关，黎曼的曲率正具有这种特性。曲率张量的某种组合称为Ricci张量（由Ricci引入），爱因斯坦发现正是这个量适合古典的质量守恒定律。（Bianchi首先发现由Ricci张量导出的量满足守恒律，爱因斯坦方程要用到这个事实。）
总而言之，黎曼的抽象空间，确是可以用于描述引力。Ricci张量描述物质分布而黎曼曲率本身描述引力场。
广义相对论的诞生
水星近日点的进动
引力场可以用具有十个分量的黎曼时空尺度来表示。爱因斯坦在1915年向普鲁士科学学会提出的一系列文章中，给出了水星近日点进动的理论解释，并预言引力场使光线发生偏移。这些结果最后总结于1916年《物理年报》上的“广义相对论基础”一文中。
广义相对论的实验证明
1919年，Eddington在英国皇家学会宣称爱氏提出的光线偏移被证实。
《伦敦泰丵晤士报》头条新闻：科学上的革丵命--新的宇宙理论--牛顿的观念被推翻。
几何和引力场之不可分
时空的概念以黎曼几何为框架表现出来，可谓天衣无缝。几何与引力浑然一体，如胶似漆。引力驱动整个宇宙，瞬息万变，时空不再是一潭静寂的死水了。
当天体变动时，时空的几何和拓扑以光的速度变化，这也解决了牛顿引力学和狭义相对论的矛盾。
对称在物理和几何学的重要性
除了受到哲学家马赫对相对时空看法的影响外，爱氏还看出对称观念的重要性。
麦克斯韦方程具有洛伦兹对称性，给了爱因斯坦创造狭义相对论的灵感。爱氏可说是第一个看到对称群在物理学有举足轻重地位的物理学家。狭义相对论使人们对洛伦兹群另眼相看。运动方程离不开对称群，比如说，各种守恒律便来自于物理系统容纳各种连续群为其对称群。
等价原理要求物理定律与坐标的选取无关，因此它需要一个更大的对称群。为了要容纳这样的对称性，导致爱氏提出他的广义相对论。
整体对称和局部对称
与物理学相比较，黎曼在创立他的几何时，就已经要求有意义的几何性质必须与坐标选取无关了。
其实数学家(S. Lie, F. Klein)早就晓得对称性对几何学基本结构的重要性。1887年，Klein在有名的Erlangen纲领中便指出，不同的对称群会引出不同的几何。没多久，Cartаn便将Klein的观点与黎曼几何结合，创造了在纤维丛上的联络理论，它把Klein的整体对称理论和黎曼几何融为一体。
这种规范对称性在几何和物理中同样重要。在过去一个世纪，人们对时空的结构，都是通过这种局部对称性来研究的。
量子力学
二十世纪初量子力学的伟大发现，促进了我们对高能物理中基本粒子的了解，也因此对时空的结构有了更深入的认识。为了理解这些自然界力量的基本建构单位，我们要利用旋子及规范场论。这些概念早已由Cartan从群表示理论和几何的研究中发现。事实上，规范场论源于纤维丛（扭曲空间）的研究，那时物理学家还未对它产生兴趣呢。
Dirac方程用洛伦兹群为对称，Hermann Weyl则研究电磁场中的可交换规范场。到1954年，杨振宁和Mills发展了非交换的规范场，所有粒子都由对称群来控制了。
量子场论对几何的影响
量子场论的种种成就也改变了我们对时空几何的认识。举例来说，Dirac的旋子，Seiberg -Witten的理论都是量子物理的一部分，它们是研究几何的重要工具，到如今我们仍然惊异于它们对几何结构的威力。


但是，当空间半径小于普朗克尺度时，量子力学和光滑的时空不能兼容，我们茫然毫无头绪。空间是如何构成的，还是不甚了了。把引力场量子化是艰巨的任务，物理学家为此建立了不少模型。爱因斯坦生前梦想把自然界所有力量统一起来，现在我们正在沿着这个方向迈进。
弦学的源起
物理学家Veneziano发现，欧拉在二百多年前发现的某些函数，可以用来描述很多强核力产生的现象。不久之后，Nambu，Nielson和Susskind建议，假如基本粒子是弦而非点时，我们的确可以从强粒子理论找到欧拉函数。可是强力的理论以后并不循这个方向发展，所谓标准模型已经足够描述强粒子了。
弦学的第一次革丵命
在好长一段日子里，弦学几乎销声匿迹，只有Scherk和Schwarz勇敢地提出弦学应该包括强粒子和引力子在内。但是真正引起理论物理学家注意的是，Green和Schwarz在1984年发现，当弦与引力场相互作用，在包含超对称的量子化过程中，规范群只能在两个李群中发生，时空的维数必须为十，而在这时，弦学的量子场论在扰动的架构下头几项是收敛的。
弦学中时空的奇异点
值得兴奋的是：由弦学所产生的时空量子化理论，甚至可以“医治”时空的某些奇异点（这些奇异点的产生是无可奈何的事实，我们在解爱氏方程时发现它存在的必然性。但是，一般的物理定律在这些点不再有意义。）举例来说，黑洞是一种奇异点，但是Greene-Strominger -Morrison所提供的黑洞模型中，证明甚至当时空出现这种奇性点时，弦理论还是有意义的。
高维时空
我们观察到的现实世界是四维的。故此，我们需要有一个机制，把十维减少到四维。这类机制滥觞于Kaluza-Klein的理论，当广义相对论刚刚面世时便提出了。当时考虑的，是把四维时空用圆环加厚成为五维空间。
Kaluza-Klein模型
一个好例子是把直线加厚成为圆柱面。当柱的横切面变得很小时，柱面便变回直线。
Kaluza-Klein考虑在一个加厚后成为五维时空的真空状态的爱因斯坦方程。他们指出，这个五维真空的爱氏方程等价于某些四维时空（带一个数量场）上的引力和麦氏方程。利用这个办法，引力场和电磁力便由纯引力场统一起来了。爱因斯坦相当喜欢这个模型，但这个附加的数量场始终没有完好的解释，只得作罢。
时空的超对称结构
在弦理论中，时空是十维的。仿效Kaluza-Klein的做法，我们把时空加厚，添进内在的六个维数。为了与现实世界相容，这些附加的六维空间必须十分细小（新近出现的膜丵理论可以容许这个内蕴空间不用太小）。
弦理论学者相信当能量极高时，玻色子与费米子具有某种一一对应的关系，这便是所谓“超对称”。
时空中要容许这种超对称，这个内在的六维空间必须满足某些严苛的条件。
弦论中的(Kaluza-Klein)模型
根据Candelas、Horowitz、Strominger和Witten的提议，这个空间可以由有复结构的真空方程来构造。在1984年，他们发现这类空间就是我在1976年构造的流形。今天，这类空间被称为卡拉比-丘空间。由于弦学家的需求，这廿年来对卡-丘空间的研究有长足的进展，人们从而获得了不少有关弦理论及数学的有趣结果。
卡拉比-丘空间
卡拉比-丘空间有不少的模型。从数学上来说，我们对它们的认知颇深。有朝一日，我们希望能透过这些空间，来算出某些物理的基本常数（如质量和电荷）。利用这些空间的连续演化，我们希望能构造出新的宇宙模型或黑洞。这类动力学所提供的古典和量子力学信息，是当前热门的研究课题。
T-对偶
卡拉比-丘空间乃是弦理论中真空状态的基石，但它不见得是时空微观结构的终极形式。卡拉比-丘空间中的T-对偶是一种重要的对称性，它显示时空的微观结构是极度复杂的。这种对偶指出，有关半径为R的圆周上的量子场论与在半径为1/R的圆周上的量子场论是相同的。这就是说极小的空间和极大的空间同构。