猜想二连续合数和中的素数无穷多。
定义二连续合数和序列：4+6=10，6+8=14，8+9=17，……其中的素数有17，31，41等等。
当规模无限扩大时，合数的占比无限趋近于1， 而二连合之和 S = c + c'（c, c'为相邻合数）受到合数间隔结构的约束。相邻合数的间隔只能取{1,2}，规模无限扩大时，奇数中的合数密度愈来愈大，间隔中1出现频率也愈来愈高，2出现频率愈来愈低。
但要注意，频率趋近于 0并不等于构型消失。 即使间隔 2 的频率趋近于 0，在无限规模区间内，间隔 2 的构型仍然存在，并且无穷多，但间隔2越往后越稀少的情况下，比如100对、1000对、10000对连续合数中才只有一对是间隔2的，明显结果就是两个连续合数之和趋近于随机奇数。从而直接产生了2倍素性增益。于是这时有γ→2。
但在规模较小时，负相关性拉低了素性增益，导致普遍有γ＜2。但只要γ＞1，就足够说明二连合和中的素数占比高于随机数中的素数占比。所以几乎可以断言二连合和中的素数无穷多。
区间 γ α = γβ 含义
[2,100] 1.80 0.384 α衰减慢
[100,1000] 1.88 0.268 α衰减慢
[1000,10000] 1.94 0.208 α衰减慢
[990000,1000000] 1.96 0.136 α衰减慢
[9999000,10000000] 1.85 0.110 α衰减慢
随机自然数素性增益γ=1，随机奇数素性增益γ=2。但二连合和只是渐近于随机奇数而非等同于随机奇数。由于间隔2的构型永远不会完全消失，负相关性的作用下，素性增益γ永远不会完全等于2。
但这并不能说明所有区间内必有γ＜2。随密度波的偶然涨落，γ＞2也是可能出现的结果。但整体而言γ渐近于2是不争的事实。
例如区间 [10^41, 10^41+10000] 内
k=2 连 续合数统计 =====
合数总数：9883
2连续合数总组数：9882
和为素数组数：241
S平均值 S_avg = 200000000000000001240017290081556638990336.0000
α = 0.0244
β = 1/ln(S_avg) = 0.0105
γ = α/β = 2.3193
在10^41数量级附近，γ可以站上2.3193的高位。
由于这个猜想所处的技术层级尚未被现有数学工具触及，所以在搜索结果中并无信源支撑，因此无法被当今的数学学术圈子认可。然而，如果一个领域从未有人涉足，那么要求信源直接支撑等同于要求研究者先等到别人研究过之后才能研究，这在逻辑上是自相矛盾的。费马写下猜想时没有信源支撑，庞加莱提出猜想时也没有信源支撑。猜想的价值不取决于其被信源检验的先后顺序。
已知在素数中，除去很少一部分反例外，几乎所有奇素数 p 都可以写成二连续合数之和。这些反例被称为“坏素数”。事实上，若按自然密度看，坏素数在素数中的比例趋于0。
下面尝试用筛法对猜想进行证明。
先给出等价转化。
设相邻合数为 n, n'。若 n'-n=2，则 n+n'=2n+2 为偶数，不是奇素数；所以素数只能来自间隔 1 的情形。
于是问题化为：存在无穷多个 n，使 n,n+1 都是合数，且 2n+1 为素数。
对素数 p=2n+1，考虑 n=(p-1)/2、n+1=(p+1)/2。需要二者都是合数。坏情形只有两种：
n 是素数：则 p=2q+1，其中 q 和 2q+1 都是素数；
一
n+1 是素数：则 p=2q-1，其中 q 和 2q-1 都是素数。
用 Brun 筛：
B₁(x) = #{q≤x：q，2q+1 prime} ≪x/ log² x
B₂(x) = #{q≤x：q，2q+1 prime} ≪x/ log² x
不满足条件的素数 p ≤ x 的数量为 O(x / log²x)，即这类“坏”素数在 x 以内所占比例趋于 0。
O 的含义：存在常数 C，使该数量 ≤ C·x / log²x 对充分大的 x 成立。
与素数总数的对比：x 以内素数总数 π(x) ~ x / log x，而失败者仅 x / log²x，占比约 1 / log x → 0，即几乎所有素数都满足条件。
于是，二连合数中的素数总数占全体素数中的绝大部分。又因为全体素数有无穷多个，所以二连合数中的素数总数也有无穷多个。
定义二连续合数和序列：4+6=10，6+8=14，8+9=17，……其中的素数有17，31，41等等。
当规模无限扩大时，合数的占比无限趋近于1， 而二连合之和 S = c + c'（c, c'为相邻合数）受到合数间隔结构的约束。相邻合数的间隔只能取{1,2}，规模无限扩大时，奇数中的合数密度愈来愈大，间隔中1出现频率也愈来愈高，2出现频率愈来愈低。
但要注意，频率趋近于 0并不等于构型消失。 即使间隔 2 的频率趋近于 0，在无限规模区间内，间隔 2 的构型仍然存在，并且无穷多，但间隔2越往后越稀少的情况下，比如100对、1000对、10000对连续合数中才只有一对是间隔2的，明显结果就是两个连续合数之和趋近于随机奇数。从而直接产生了2倍素性增益。于是这时有γ→2。
但在规模较小时，负相关性拉低了素性增益，导致普遍有γ＜2。但只要γ＞1，就足够说明二连合和中的素数占比高于随机数中的素数占比。所以几乎可以断言二连合和中的素数无穷多。
区间 γ α = γβ 含义
[2,100] 1.80 0.384 α衰减慢
[100,1000] 1.88 0.268 α衰减慢
[1000,10000] 1.94 0.208 α衰减慢
[990000,1000000] 1.96 0.136 α衰减慢
[9999000,10000000] 1.85 0.110 α衰减慢
随机自然数素性增益γ=1，随机奇数素性增益γ=2。但二连合和只是渐近于随机奇数而非等同于随机奇数。由于间隔2的构型永远不会完全消失，负相关性的作用下，素性增益γ永远不会完全等于2。
但这并不能说明所有区间内必有γ＜2。随密度波的偶然涨落，γ＞2也是可能出现的结果。但整体而言γ渐近于2是不争的事实。
例如区间 [10^41, 10^41+10000] 内
k=2 连 续合数统计 =====
合数总数：9883
2连续合数总组数：9882
和为素数组数：241
S平均值 S_avg = 200000000000000001240017290081556638990336.0000
α = 0.0244
β = 1/ln(S_avg) = 0.0105
γ = α/β = 2.3193
在10^41数量级附近，γ可以站上2.3193的高位。
由于这个猜想所处的技术层级尚未被现有数学工具触及，所以在搜索结果中并无信源支撑，因此无法被当今的数学学术圈子认可。然而，如果一个领域从未有人涉足，那么要求信源直接支撑等同于要求研究者先等到别人研究过之后才能研究，这在逻辑上是自相矛盾的。费马写下猜想时没有信源支撑，庞加莱提出猜想时也没有信源支撑。猜想的价值不取决于其被信源检验的先后顺序。
已知在素数中，除去很少一部分反例外，几乎所有奇素数 p 都可以写成二连续合数之和。这些反例被称为“坏素数”。事实上，若按自然密度看，坏素数在素数中的比例趋于0。
下面尝试用筛法对猜想进行证明。
先给出等价转化。
设相邻合数为 n, n'。若 n'-n=2，则 n+n'=2n+2 为偶数，不是奇素数；所以素数只能来自间隔 1 的情形。
于是问题化为：存在无穷多个 n，使 n,n+1 都是合数，且 2n+1 为素数。
对素数 p=2n+1，考虑 n=(p-1)/2、n+1=(p+1)/2。需要二者都是合数。坏情形只有两种：
n 是素数：则 p=2q+1，其中 q 和 2q+1 都是素数；
一
n+1 是素数：则 p=2q-1，其中 q 和 2q-1 都是素数。
用 Brun 筛：
B₁(x) = #{q≤x：q，2q+1 prime} ≪x/ log² x
B₂(x) = #{q≤x：q，2q+1 prime} ≪x/ log² x
不满足条件的素数 p ≤ x 的数量为 O(x / log²x)，即这类“坏”素数在 x 以内所占比例趋于 0。
O 的含义：存在常数 C，使该数量 ≤ C·x / log²x 对充分大的 x 成立。
与素数总数的对比：x 以内素数总数 π(x) ~ x / log x，而失败者仅 x / log²x，占比约 1 / log x → 0，即几乎所有素数都满足条件。
于是，二连合数中的素数总数占全体素数中的绝大部分。又因为全体素数有无穷多个，所以二连合数中的素数总数也有无穷多个。
