三连续素数和猜想
猜想三连续素数之和S_(p₁+p₂+p₃)的素性密度，不仅仅远高于相同数量级随机整数的素数密度（增益因子γ=α/β>2，其中α是实测密度，β是素数定理下的预期密度），而且在数量级固定的前提下，增益因子γ是三连续素数直径d的一个函数γ=f(d)。直径d固定的前提下，增益因子γ又是数量级10^K的另一个函数γ=F(10^K)。
例如区间[1000000，2000000]以内，有70435个素数，构成三连续素数组70433个，三数之和为素数：12090个，占比α = 0.1717。
其中的素数三胞胎合计总数=2051个，和为素数：376个，占比α=0.1833。
而在区间中点1500000附近，素数定理下的预期密度β=0.0703。
由此可知三连续素数和的素性增益(直径d从6到140不等。d最大的一组是1561891, 1561919, 1562051)
γ=0.1717/0.0703=2.4424。
三胞胎素数和的素性增益(直径d=6)
γ=0.1833/0.0703=2.6074。
也就是说，直径d=6时，三连续素数和的素性增益γ=2.6074。
而直径=8时，三连续素数和的素性增益
γ=3.5363。(三连续素数组总数：1762个，三素之和为素数的组数：438个)
而直径d=10时，三连续素数和的素性增益γ=2.4139。(三连续素数组总数：2623个，三素之和为素数的组数：445个)
而直径d=12时，三连续素数和的素性增益
γ=1.8549。(三连续素数组总数：5038个，三素之和为素数的组数：657个)
……
在一揽子直径d的前提下，各数量级三连续素数和的素性增益变化火车图表
数量级 实测α 预期值β 比值γ=α/β
10¹ 0 0.434 0
10² 0.652 0.240 2.71
10³ 0.391 0.133 2.93
10⁴ 0.318 0.113 2.82
10⁵ 0.245 0.092 2.65
10⁶ 0.192 0.074 2.61
10⁷ 0.162 0.063 2.57
10⁸ 0.139 0.054 2.56
10⁹ 0.116 0.048 2.40
10¹⁰ 0.104 0.045 2.39
10¹¹ 0.093 0.039 2.36
10¹² 0.085 0.036 2.35
10¹³ 0.079 0.033 2.37
10¹⁴ 0.073 0.031 2.36
10¹⁵ 0.069 0.029 2.37
10¹⁶ 0.064 0.027 2.37
……
由此可见，一揽子直径d的前提下，数量级愈大 比值γ反而愈小。
猜想包含两个递进层次：
①素性密度的整体超越性：三连续素数之和 S = p₁ + p₂ + p₃ 的素性密度 α，远远高于同等
数量级随机整数的素数密度 β（由素数定理给出），增益因子γ= α/β > 2。
②增益因子的双变量依赖性：
在固定数量级（10^k）前提下，γ 是直径 d 的函数γ= f(d)；
在固定直径 d 前提下，γ 又是数量级的函数：γ = F(10^k)。
或者统一为二元可变函数γ = F(10^k，d)。
由于同一 d 可能对应多个间隔模式，例如：
d=6：(0,2,6) 与 (0,4,6)
d=8：(0,2,8) 与 (0,6,8)
这些模式对模 3、5、7、11……的避让不同，局部因子不同。因此还可以进一步写成：
γ = F(10^k，d_i)。i代表直径d下的多个间隔模式。
直径越小意味着三个素数在数轴上的距离越近，其模运算的“相关性”也就越强。例如，三胞胎素数（d=6）之和 S = p + (p+2) + (p+6) = 3p + 8，其中 3p+8 对模 3 的结果是 8 ≡ 2 (mod 3)。这意味着只要 p 不是 3 的倍数（p>3 时必然如此），S 就自动避开被 3 整除。相较之下，无约束的一般三连素数组（如间隔 {4,6}）并不具备这种“自动避让”能力。但这种“相关性”并非是绝对的，直径=8时，三连续素数和的素性增益
γ=3.5363。反而比直径6的高了1/3还多。这种奇怪的特征目前为止还没有得到合理的理论解释。
猜想三连续素数之和S_(p₁+p₂+p₃)的素性密度，不仅仅远高于相同数量级随机整数的素数密度（增益因子γ=α/β>2，其中α是实测密度，β是素数定理下的预期密度），而且在数量级固定的前提下，增益因子γ是三连续素数直径d的一个函数γ=f(d)。直径d固定的前提下，增益因子γ又是数量级10^K的另一个函数γ=F(10^K)。
例如区间[1000000，2000000]以内，有70435个素数，构成三连续素数组70433个，三数之和为素数：12090个，占比α = 0.1717。
其中的素数三胞胎合计总数=2051个，和为素数：376个，占比α=0.1833。
而在区间中点1500000附近，素数定理下的预期密度β=0.0703。
由此可知三连续素数和的素性增益(直径d从6到140不等。d最大的一组是1561891, 1561919, 1562051)
γ=0.1717/0.0703=2.4424。
三胞胎素数和的素性增益(直径d=6)
γ=0.1833/0.0703=2.6074。
也就是说，直径d=6时，三连续素数和的素性增益γ=2.6074。
而直径=8时，三连续素数和的素性增益
γ=3.5363。(三连续素数组总数：1762个，三素之和为素数的组数：438个)
而直径d=10时，三连续素数和的素性增益γ=2.4139。(三连续素数组总数：2623个，三素之和为素数的组数：445个)
而直径d=12时，三连续素数和的素性增益
γ=1.8549。(三连续素数组总数：5038个，三素之和为素数的组数：657个)
……
在一揽子直径d的前提下，各数量级三连续素数和的素性增益变化火车图表
数量级 实测α 预期值β 比值γ=α/β
10¹ 0 0.434 0
10² 0.652 0.240 2.71
10³ 0.391 0.133 2.93
10⁴ 0.318 0.113 2.82
10⁵ 0.245 0.092 2.65
10⁶ 0.192 0.074 2.61
10⁷ 0.162 0.063 2.57
10⁸ 0.139 0.054 2.56
10⁹ 0.116 0.048 2.40
10¹⁰ 0.104 0.045 2.39
10¹¹ 0.093 0.039 2.36
10¹² 0.085 0.036 2.35
10¹³ 0.079 0.033 2.37
10¹⁴ 0.073 0.031 2.36
10¹⁵ 0.069 0.029 2.37
10¹⁶ 0.064 0.027 2.37
……
由此可见，一揽子直径d的前提下，数量级愈大 比值γ反而愈小。
猜想包含两个递进层次：
①素性密度的整体超越性：三连续素数之和 S = p₁ + p₂ + p₃ 的素性密度 α，远远高于同等
数量级随机整数的素数密度 β（由素数定理给出），增益因子γ= α/β > 2。
②增益因子的双变量依赖性：
在固定数量级（10^k）前提下，γ 是直径 d 的函数γ= f(d)；
在固定直径 d 前提下，γ 又是数量级的函数：γ = F(10^k)。
或者统一为二元可变函数γ = F(10^k，d)。
由于同一 d 可能对应多个间隔模式，例如：
d=6：(0,2,6) 与 (0,4,6)
d=8：(0,2,8) 与 (0,6,8)
这些模式对模 3、5、7、11……的避让不同，局部因子不同。因此还可以进一步写成：
γ = F(10^k，d_i)。i代表直径d下的多个间隔模式。
直径越小意味着三个素数在数轴上的距离越近，其模运算的“相关性”也就越强。例如，三胞胎素数（d=6）之和 S = p + (p+2) + (p+6) = 3p + 8，其中 3p+8 对模 3 的结果是 8 ≡ 2 (mod 3)。这意味着只要 p 不是 3 的倍数（p>3 时必然如此），S 就自动避开被 3 整除。相较之下，无约束的一般三连素数组（如间隔 {4,6}）并不具备这种“自动避让”能力。但这种“相关性”并非是绝对的，直径=8时，三连续素数和的素性增益
γ=3.5363。反而比直径6的高了1/3还多。这种奇怪的特征目前为止还没有得到合理的理论解释。
