q = b-a，q^2-1 = b+a...............(2)
两式相减得到：
(q-1)q(q+1) = b^2 - a^2
等式两端必然存在同构：于是有：
(q-1) q (q+1) = b^2 - a^2 = (b-a) b (b+a)
等式成立，当且仅当：q = a = b = 1
但1不是素数，故命题无解。

假设存在素数p,q，使得p+q=a^2，p+q^3=b^2，则有关系式：
q(q^2-1) = q(q-1)(q+1) = (b^2-a^2) = (b-a)(b+a)............（1）
显然：
关系式（1）成立，必然存在关系式：
q = b-a，q^2-1 = b+a...............(2)
q -1 = b-a，q(q+1) = b+a...........(3)
q+1 = b-a，q(q-1) = b+a...............(4)
.
对于（3）（4），由于(b-a)与(b+a)是相差2a的一对偶数或者奇数，则：
（3）成立，等价于q(q+1)-(q-1)=2a，即：q^2 - 2a + 1 = 0
推知：q = a = 1，q没有素数解。原命题为真。
（4）成立，等价于q(q-1)-(q+1)=2a，即：q^2 - 2q - (2a+1) = 0
根据（2）的结论，a没有正整数解。原命题为真。
.
总之：不存在素数p,q，使得p+q=a^2，p+q^3=b^2同时成立。
.

假设存在素数p,q，使得p+q=a^2，p+q^3=b^2，则有关系式：
q(q^2-1) = (b^2-a^2) = (b-a)(b+a)............（1）
显然：
关系式（1）成立，必然存在关系式：
q = b-a，q^2-1 = b+a..............(2)
两个式子相加得到：
q^2 + q - (2b+1) = 0
.
显然：2b+1 = x(x+1) = 1*2, 2*3 , 3*4 , 4^5, ...
是q存在正整数解的必要条件。
但：b = [x(x+1) - 1] / 2 不是整数。
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推知：假设为假，原命题成立。