寻找单调N生素数的路程及其有限性猜想
孪生素数是指相差为2的连续两个素数。如{3,5},(5, 7), (11, 13)，等等。如果这对孪生素数又都是单调素数，那么它又被称为一对单调孪生素数。目前为止已经找到了约189对单调孪生素数。（数据见附录）同理可以定义单调N生素数如下：单调N生素数指这样一个长度为N≥2的连续素数序列，组成它的每一个素数都是单调素数，且其首项与尾项的差值（即跨度Span）为S_n=3N-4+{N-int(N/2)*2}。N=2时S_n=2。这个跨度公式不仅仅适用于有结构限制的“单调N生素数”，更适用于所有的N生素数。实际上，“单调N生素数”就是各项素数都满足单调性条件的N生素数。
有些满足单调性的连续素数序列，其跨度不符合S_n规定，如间隔4的单调表兄弟素数{7，11}{19，23}等不属于单调N生素数。统计结果表明，这类间隔4的单调邻居素数对（又称“单调表兄弟素数”）比单调孪生素数对少得多，目前为止仅找到14对 (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (223, 227), (229, 233), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887)(11113,11117)。其原因尚不完全明确。可能与以下几点有关：1. 间隔为4的单调连续素数对（即既是“表兄弟素数”又是“单调素数”的素数对）的数量，远少于间隔为2的单调素数对（单调孪生素数）。这恰恰是“单调性”这一额外约束发挥强大筛选作用的绝佳例证。2. 经典“表兄弟素数”并不稀有，稀有的是“单调表兄弟素数”首先需要澄清一个基本事实：经典的表兄弟素数（相差为4的素数对）在数论中被认为具有与孪生素数几乎相同的渐近密度。根据哈代-李特伍德猜想，表兄弟素数的修正因子 C_4≈ 0.66016，与孪生素数的常数 C_2 相同。这意味着，如果孪生素数有无穷多，那么表兄弟素数也应有无穷多，并且它们的出现频率大致相当。例如，在1000以内，表兄弟素数有41对之多（如(3,7)、(7,11)、(13,17)等）。截至2022年，已知最大的表兄弟素数对每个素数有51,934位。因此，表兄弟素数本身绝不稀有。真正稀有的是“同时满足单调性”的表兄弟素数。 前述的14对“单调表兄弟素数”，是两种极端约束的交集：约束1：p 和 p+4 都是素数（经典表兄弟素数条件）。约束2：p 和 p+4 的十进制数字都必须是非降或者非增的（单调性条件）。而“差4”比“差2”更难满足单调性，因为加4更可能引起进位，破坏单调递增的数字序列，同时模3的约束也更为严格（虽然两种模式都可以通过选择合适的 p mod 3 来规避，但单调数的数字和分布使得找到合适的 p 更为困难）。3. 对于表兄弟素数，末位模式必须是 (3,7), (7,1), (9,3)。 而单调数的末尾数字受到前面数字的限制。5位及以下模式(3,7)的单调表兄弟素数如(11113,11117)尚可以允许，但在5位以上单调表兄弟素数中，这几类末位模式基本上不可能存在。例如，346669+4=346673，单调性被完全破坏了。由此可见，在单调三生及以上素数中，固为至少存在一对单调表兄弟素数，所以它们都不能超过5位数。单调三生素数目前仅找到了约10组(5, 7,11), (7,11, 13), (11, 13,17), (17, 19,23),(41, 43,47),(67,71, 73),(223,227, 229),(227, 229,233),(881, 883,887),(11113,11117, 11119)。单调四生素数目前仅找到了5组,(5, 7, 11, 13),(7, 11, 13, 17)(11, 13,17,19), (13,17, 19,23),(223,227, 229,233)。单调五生素数目前仅找到了3组,(5,7, 11, 13, 17)，(7, 11, 13, 17, 19) 和 (11, 13, 17, 19, 23) 。单调六生素数目前仅找到了2组,(5,7, 11, 13, 17, 19) (7, 11, 13, 17, 19,23) 。单调七生素数目前仅找到了1组,(5,7, 11, 13, 17, 19,23) 。单调八生及八生以上素数均不存在，这是由个位数累加模5性质决定的。同时这也证明了，所有的八生及八生以上素数均不存在。
♥证明过程：设（单调）N生素数初值为P₁，其个位数只能是1、3、7、9之一。个位累加时可以+2→+4→+2…交替，也可以+4→+2→+4…交替。个位数结果如下：
1→3→7→9→3→5. ⊥1→5.
3→5.
孪生素数是指相差为2的连续两个素数。如{3,5},(5, 7), (11, 13)，等等。如果这对孪生素数又都是单调素数，那么它又被称为一对单调孪生素数。目前为止已经找到了约189对单调孪生素数。（数据见附录）同理可以定义单调N生素数如下：单调N生素数指这样一个长度为N≥2的连续素数序列，组成它的每一个素数都是单调素数，且其首项与尾项的差值（即跨度Span）为S_n=3N-4+{N-int(N/2)*2}。N=2时S_n=2。这个跨度公式不仅仅适用于有结构限制的“单调N生素数”，更适用于所有的N生素数。实际上，“单调N生素数”就是各项素数都满足单调性条件的N生素数。
有些满足单调性的连续素数序列，其跨度不符合S_n规定，如间隔4的单调表兄弟素数{7，11}{19，23}等不属于单调N生素数。统计结果表明，这类间隔4的单调邻居素数对（又称“单调表兄弟素数”）比单调孪生素数对少得多，目前为止仅找到14对 (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (223, 227), (229, 233), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887)(11113,11117)。其原因尚不完全明确。可能与以下几点有关：1. 间隔为4的单调连续素数对（即既是“表兄弟素数”又是“单调素数”的素数对）的数量，远少于间隔为2的单调素数对（单调孪生素数）。这恰恰是“单调性”这一额外约束发挥强大筛选作用的绝佳例证。2. 经典“表兄弟素数”并不稀有，稀有的是“单调表兄弟素数”首先需要澄清一个基本事实：经典的表兄弟素数（相差为4的素数对）在数论中被认为具有与孪生素数几乎相同的渐近密度。根据哈代-李特伍德猜想，表兄弟素数的修正因子 C_4≈ 0.66016，与孪生素数的常数 C_2 相同。这意味着，如果孪生素数有无穷多，那么表兄弟素数也应有无穷多，并且它们的出现频率大致相当。例如，在1000以内，表兄弟素数有41对之多（如(3,7)、(7,11)、(13,17)等）。截至2022年，已知最大的表兄弟素数对每个素数有51,934位。因此，表兄弟素数本身绝不稀有。真正稀有的是“同时满足单调性”的表兄弟素数。 前述的14对“单调表兄弟素数”，是两种极端约束的交集：约束1：p 和 p+4 都是素数（经典表兄弟素数条件）。约束2：p 和 p+4 的十进制数字都必须是非降或者非增的（单调性条件）。而“差4”比“差2”更难满足单调性，因为加4更可能引起进位，破坏单调递增的数字序列，同时模3的约束也更为严格（虽然两种模式都可以通过选择合适的 p mod 3 来规避，但单调数的数字和分布使得找到合适的 p 更为困难）。3. 对于表兄弟素数，末位模式必须是 (3,7), (7,1), (9,3)。 而单调数的末尾数字受到前面数字的限制。5位及以下模式(3,7)的单调表兄弟素数如(11113,11117)尚可以允许，但在5位以上单调表兄弟素数中，这几类末位模式基本上不可能存在。例如，346669+4=346673，单调性被完全破坏了。由此可见，在单调三生及以上素数中，固为至少存在一对单调表兄弟素数，所以它们都不能超过5位数。单调三生素数目前仅找到了约10组(5, 7,11), (7,11, 13), (11, 13,17), (17, 19,23),(41, 43,47),(67,71, 73),(223,227, 229),(227, 229,233),(881, 883,887),(11113,11117, 11119)。单调四生素数目前仅找到了5组,(5, 7, 11, 13),(7, 11, 13, 17)(11, 13,17,19), (13,17, 19,23),(223,227, 229,233)。单调五生素数目前仅找到了3组,(5,7, 11, 13, 17)，(7, 11, 13, 17, 19) 和 (11, 13, 17, 19, 23) 。单调六生素数目前仅找到了2组,(5,7, 11, 13, 17, 19) (7, 11, 13, 17, 19,23) 。单调七生素数目前仅找到了1组,(5,7, 11, 13, 17, 19,23) 。单调八生及八生以上素数均不存在，这是由个位数累加模5性质决定的。同时这也证明了，所有的八生及八生以上素数均不存在。
♥证明过程：设（单调）N生素数初值为P₁，其个位数只能是1、3、7、9之一。个位累加时可以+2→+4→+2…交替，也可以+4→+2→+4…交替。个位数结果如下：
1→3→7→9→3→5. ⊥1→5.
3→5.
