单调连续素数组的定义：如果一段连续多个素数都是单调素数{p₁，p₂，p₃，……pₐ}，就称它为一个单调连续素数组。如→从2起的连续25个素数都是单调素数{2，3，5，7，11，……97}。它们既是一段连续素数同是又是一段连续的单调素数。猜想任何一个单调连续素数组元素个数不多于25个。在区间（100，1000000）内已知最长的单调连续素数组只有［199, 211, 223, 227, 229, 233, 239］，长度7。其次是 [1237, 1249, 1259, 1277, 1279]，长度=5 。 再次是[23333, 23339, 23357, 23369]等等，长度=4。
此后连续8个素数均为单调素数的情形都未找到，更别提25个以上元素的单调连续素数组的情形了。连续3个或者4个素数均为单调素数的情形倒很常见。如{137，139，147}{331, 337, 347, 349}。孪生素数对同时又成为单调孪生素数对的情况也不稀奇。如{137，139}{347, 349}。
能否严格证明不存在连续26个素数都是单调素数呢？这个问题实质上等价于“是否存在长度≥26的素数区间，其中所有素数都是单调的”。由于单调素数在总素数中的占比随位数急剧下降，早就有人猜想单调素数总数有限，如果这猜想成立，当位数无限增长时，连续单调素数段的长度必有上界U。
注意连续单调素数组{如97，113，127，137}定义是单调素数列中的一段序列，长度可以非常长，(区间内可以存在别的素数)。别把连续单调素数组与单调连续素数组的定义搞混了。在足够大的数范围内，两个相邻的单调素数之间，极大概率穿插着大量非单调的素数。这里的“足够大”是关键限定词。在小数值范围内（如100以内），单调素数密度100%，连续出现是常态；但随着数值增大，单调素数的比例急剧下降，连续出现的概率趋近于零。关键解读：在2位数范围（10-99），单调素数占比100%，因此连续出现是必然的。在3位数范围（100-999），平均每2.1个素数就有一个是单调素数，连续出现仍较常见。到5位数范围（10000-99999），平均每22.6个素数才出现一个单调素数，连续3个素数都是单调素数的概率已降至约0.01%。到7位数范围（百万级），平均每485.6个素数才出现一个单调素数，连续2个素数都是单调素数的概率约10^（-6）。
对“单调连续素数组长度猜想”的重新审视
基于上述密度模型，我们可以更精确地评估“不存在长度≥26的单调连续素数组”这一猜想：
3.1 小数值范围的特殊情况从2到97的25个连续单调素数出现在1-2位数范围，这恰好是单调素数占比100%的区域。这是由单调素数的定义导致的——所有1-2位的素数都是单调素数，因为：
1位素数：2, 3, 5, 7（本身就是单个数码，满足单调性）
2位素数：所有两位数的素数（两位数只有两个数码，无论大小关系如何，都满足非递减或非递增）因此，从2开始的25个连续素数都是单调素数，这并非偶然，而是由数字结构决定的必然结果。
3.2 3位数及以上的严酷现实
一旦进入3位数范围（≥100），情况发生根本性转变：3位数中非单调素数首次出现，如101（非单调，因为1→0→1既有下降又有上升）单调素数占比骤降至48%从此，长段连续单调素数出现的概率呈指数级下降。严格来说，单调连续素数组可以跨越不同位数（如一到二位的连续25个素数）。但从三位数到四位数起，还需要跨越从递减（首位9）到递增（首位1的转变）。而首位为1不递减时后面又不能为0，这相当于开区间（10^n，{10^{n+1}-1}/9）内不能有任何素数（例如1000到1111之间），实测结果和理论推导都不支持这一假设。根据单调连续素数组的定义，这种情况大概率也不会再次出现。所以我们需要考虑更一般的情况：对于数值N，单调素数的局部密度约为$p（N），且随位数增加迅速下降。因此从四位数起，重现连续25个素数为单调素数的可能性基本上不复存在。
未解决的问题
严格证明仍缺失：虽然统计证据强烈支持“不存在长度≥26的单调连续素数组”，但尚未获得严格的数学证明。与单调素数有限性猜想的关系：单调素数有限性猜想如果成立，将自动导出单调连续素数组长度有限的结论；反之则不必然成立（即使单调素数无限多，单调连续素数组仍可能有限）。与其他素数猜想的关系：该猜想似乎独立于已知的素数分布定理（如素数定理、伯特兰-切比雪夫定理、格林-陶哲轩定理等），需要发展新的分析方法。
此后连续8个素数均为单调素数的情形都未找到，更别提25个以上元素的单调连续素数组的情形了。连续3个或者4个素数均为单调素数的情形倒很常见。如{137，139，147}{331, 337, 347, 349}。孪生素数对同时又成为单调孪生素数对的情况也不稀奇。如{137，139}{347, 349}。
能否严格证明不存在连续26个素数都是单调素数呢？这个问题实质上等价于“是否存在长度≥26的素数区间，其中所有素数都是单调的”。由于单调素数在总素数中的占比随位数急剧下降，早就有人猜想单调素数总数有限，如果这猜想成立，当位数无限增长时，连续单调素数段的长度必有上界U。
注意连续单调素数组{如97，113，127，137}定义是单调素数列中的一段序列，长度可以非常长，(区间内可以存在别的素数)。别把连续单调素数组与单调连续素数组的定义搞混了。在足够大的数范围内，两个相邻的单调素数之间，极大概率穿插着大量非单调的素数。这里的“足够大”是关键限定词。在小数值范围内（如100以内），单调素数密度100%，连续出现是常态；但随着数值增大，单调素数的比例急剧下降，连续出现的概率趋近于零。关键解读：在2位数范围（10-99），单调素数占比100%，因此连续出现是必然的。在3位数范围（100-999），平均每2.1个素数就有一个是单调素数，连续出现仍较常见。到5位数范围（10000-99999），平均每22.6个素数才出现一个单调素数，连续3个素数都是单调素数的概率已降至约0.01%。到7位数范围（百万级），平均每485.6个素数才出现一个单调素数，连续2个素数都是单调素数的概率约10^（-6）。
对“单调连续素数组长度猜想”的重新审视
基于上述密度模型，我们可以更精确地评估“不存在长度≥26的单调连续素数组”这一猜想：
3.1 小数值范围的特殊情况从2到97的25个连续单调素数出现在1-2位数范围，这恰好是单调素数占比100%的区域。这是由单调素数的定义导致的——所有1-2位的素数都是单调素数，因为：
1位素数：2, 3, 5, 7（本身就是单个数码，满足单调性）
2位素数：所有两位数的素数（两位数只有两个数码，无论大小关系如何，都满足非递减或非递增）因此，从2开始的25个连续素数都是单调素数，这并非偶然，而是由数字结构决定的必然结果。
3.2 3位数及以上的严酷现实
一旦进入3位数范围（≥100），情况发生根本性转变：3位数中非单调素数首次出现，如101（非单调，因为1→0→1既有下降又有上升）单调素数占比骤降至48%从此，长段连续单调素数出现的概率呈指数级下降。严格来说，单调连续素数组可以跨越不同位数（如一到二位的连续25个素数）。但从三位数到四位数起，还需要跨越从递减（首位9）到递增（首位1的转变）。而首位为1不递减时后面又不能为0，这相当于开区间（10^n，{10^{n+1}-1}/9）内不能有任何素数（例如1000到1111之间），实测结果和理论推导都不支持这一假设。根据单调连续素数组的定义，这种情况大概率也不会再次出现。所以我们需要考虑更一般的情况：对于数值N，单调素数的局部密度约为$p（N），且随位数增加迅速下降。因此从四位数起，重现连续25个素数为单调素数的可能性基本上不复存在。
未解决的问题
严格证明仍缺失：虽然统计证据强烈支持“不存在长度≥26的单调连续素数组”，但尚未获得严格的数学证明。与单调素数有限性猜想的关系：单调素数有限性猜想如果成立，将自动导出单调连续素数组长度有限的结论；反之则不必然成立（即使单调素数无限多，单调连续素数组仍可能有限）。与其他素数猜想的关系：该猜想似乎独立于已知的素数分布定理（如素数定理、伯特兰-切比雪夫定理、格林-陶哲轩定理等），需要发展新的分析方法。
