素数相邻间隔猜想：对于任意固定的正整数 x≥1，存在一个依赖于x的未知函数常数N(x)，使得对所有素数 p，其相邻间隔 nei g(p) 满足：
N(x)ˣ√p＞nei g(p)。nei是英文邻居neighbor一词的前三个字母。
有拟合公式N(x)=⌊Φ^x⌋。其中黄金分割点Φ≈1.618。
x=1时N(x)=1，不等式条件成为p＞nei g(p)。这个平凡情况显然成立，因为任何素数P都大于1，所以P与前后相邻素数之差的绝对值都小于P。
x=2时N(x)=2，不等式条件成为2√p＞nei g(p)。验证：2√3＞（1，2），2√7＞（2，4），2√113＞（4，14)。
x=3时N(x)=4，不等式条件成为4*³√p＞nei g(p)。验证：4*³√23＞（4，6），4*³√89＞（6，8），4*³√1327＞（6，34）。
x=4时N(x)=6，不等式条件成为6*⁴√p＞nei g(p)。验证：6*⁴√53＞（6，6），6*⁴√97＞（8，4），6*⁴√887＞（4，20）。
x=5时N(x)=11，不等式条件成为11*⁵√p＞nei g(p)。验证：11*⁵√23＞（4，6），11*⁵√89＞（6，8），11*⁵√1129＞（6，22）。
……
这个猜想最直观的理解是：素数的分布虽然疏密不均，但相邻素数之间的“最大空缺”不会超过某个与素数本身大小相关的幂函数。原因是当p无限增加时，Cramér猜想所预言的对数级增长速度远小于任何幂函数的增长速度，所以在p大于某个值Pₔ时猜想必成立。而在此之前的有限集中，对于任何一个不小于2的整数来说，N（x）必能找到一个峰值。这是对素数分布规律的一种强有力的约束。
具体地说，就是除了2只有一个间隔1之外，任何一个大于2的素数P₁与两个相邻素数之间都有两个素数间隔，比如7与5的素数间隔是2，7与11的素数间隔是4。两个间隔都满足条件2√p＞nei g(p)。
再如x=2时有2*√89＞（6，8）。2*√127＞（14，4）。
x=3时有4*³√31397＞(4，72)（31397前后间隔4、72，均满足条件）。
这些例子表明，即使是目前已知的一些大间隔，也未能突破这个平方根约束。
2. 猜想与Cramér猜想的比较
Cramér猜想：这是一个著名的素数间隔猜想，它认为最大素数间隔 g(p)~ (ln p)^2 。
本猜想：认为包括数据库中记录的首次出现的大素数间隔max g(p)在内，所有的与p相邻素数间隔g(p)必有N(x)ˣ√p＞nei g(p)。
本猜想比Cramér猜想弱得多。原因如下：
当 x=2 时，本猜想明确要求2√p＞nei g(p)。而Cramér猜想仅要求 g(p) ~ (ln p)^2。可以允许偶尔出现的较大偏差。Cramér猜想允许的间隔波动范围比本猜想小得多。
对于任何大于1的x，N(x)ˣ√p都是幂函数，而 (ln p)^2 是对数函数的平方。对于足够大的p，任何幂函数（哪怕幂次很小）的增长速度都远快于对数函数。所以只须在中小范围内的有限集中验证猜想成立就可以了。
因此，如果Cramér猜想成立，本猜想自动成立（因为 (ln p)^2 < N（x）ˣ√p}当p很大时）。但反过来不成立。本猜想（尤其是x=2的情况）是一个比Cramér猜想要求更宽松、从而更有可能成立的约束。因为没有对数因子，对其的验证也比较容易。如果未来某天发现一个间隔g(p)使得 g(p)>2√p 成立，那么这个猜想就被证伪。同时也必然导致Cramér猜想被证伪。从这个意义上说，猜想被证伪的价值比猜想成立更大。但从目前看，这种可能性极小。
3.根据素数定理，素数在N附近的平均间隔大约是ln N 。本猜想针对的是最大间隔（或至少是“充分大”的间隔）。x=2时，2√p是一个增长更快的函数。因此，对于绝大多数素数，其间隔远小于2√p。对于任何一个x，只要验证有限范围内2√p＞nei g(p)成立就可以了。
本猜想关注的是那些罕见的、异常巨大的间隔，即“极端间隔”。它断言，极端大的间隔也无法突破 2√p所设定的“天花板”。根据不等式公理，在同一个间隔g（pₔ）之下，如果最小的素数p满足⌊Φ^x⌋ˣ√p＞nei g(p)，则所有间隔g（pₔ）的素数p都满足⌊Φ^x⌋ˣ√p＞nei g(p)。所以只须验证对于首次出现素数间隔国际数据库中的所有起始素数来说猜想成立，就可以断定在已知素数数据区间内猜想均成立。
4. 黄金分割点Φ≈1.618在拟合公式N（x）中出现显得非常突兀，但这已经是目前为止最好的拟合结果，深层原因有待今后继续发掘。而且黄金分割点Φ≈1.618或者φ =0.618在数学分支学科研究中的偶然出现在历史上不乏先例。
N(x)ˣ√p＞nei g(p)。nei是英文邻居neighbor一词的前三个字母。
有拟合公式N(x)=⌊Φ^x⌋。其中黄金分割点Φ≈1.618。
x=1时N(x)=1，不等式条件成为p＞nei g(p)。这个平凡情况显然成立，因为任何素数P都大于1，所以P与前后相邻素数之差的绝对值都小于P。
x=2时N(x)=2，不等式条件成为2√p＞nei g(p)。验证：2√3＞（1，2），2√7＞（2，4），2√113＞（4，14)。
x=3时N(x)=4，不等式条件成为4*³√p＞nei g(p)。验证：4*³√23＞（4，6），4*³√89＞（6，8），4*³√1327＞（6，34）。
x=4时N(x)=6，不等式条件成为6*⁴√p＞nei g(p)。验证：6*⁴√53＞（6，6），6*⁴√97＞（8，4），6*⁴√887＞（4，20）。
x=5时N(x)=11，不等式条件成为11*⁵√p＞nei g(p)。验证：11*⁵√23＞（4，6），11*⁵√89＞（6，8），11*⁵√1129＞（6，22）。
……
这个猜想最直观的理解是：素数的分布虽然疏密不均，但相邻素数之间的“最大空缺”不会超过某个与素数本身大小相关的幂函数。原因是当p无限增加时，Cramér猜想所预言的对数级增长速度远小于任何幂函数的增长速度，所以在p大于某个值Pₔ时猜想必成立。而在此之前的有限集中，对于任何一个不小于2的整数来说，N（x）必能找到一个峰值。这是对素数分布规律的一种强有力的约束。
具体地说，就是除了2只有一个间隔1之外，任何一个大于2的素数P₁与两个相邻素数之间都有两个素数间隔，比如7与5的素数间隔是2，7与11的素数间隔是4。两个间隔都满足条件2√p＞nei g(p)。
再如x=2时有2*√89＞（6，8）。2*√127＞（14，4）。
x=3时有4*³√31397＞(4，72)（31397前后间隔4、72，均满足条件）。
这些例子表明，即使是目前已知的一些大间隔，也未能突破这个平方根约束。
2. 猜想与Cramér猜想的比较
Cramér猜想：这是一个著名的素数间隔猜想，它认为最大素数间隔 g(p)~ (ln p)^2 。
本猜想：认为包括数据库中记录的首次出现的大素数间隔max g(p)在内，所有的与p相邻素数间隔g(p)必有N(x)ˣ√p＞nei g(p)。
本猜想比Cramér猜想弱得多。原因如下：
当 x=2 时，本猜想明确要求2√p＞nei g(p)。而Cramér猜想仅要求 g(p) ~ (ln p)^2。可以允许偶尔出现的较大偏差。Cramér猜想允许的间隔波动范围比本猜想小得多。
对于任何大于1的x，N(x)ˣ√p都是幂函数，而 (ln p)^2 是对数函数的平方。对于足够大的p，任何幂函数（哪怕幂次很小）的增长速度都远快于对数函数。所以只须在中小范围内的有限集中验证猜想成立就可以了。
因此，如果Cramér猜想成立，本猜想自动成立（因为 (ln p)^2 < N（x）ˣ√p}当p很大时）。但反过来不成立。本猜想（尤其是x=2的情况）是一个比Cramér猜想要求更宽松、从而更有可能成立的约束。因为没有对数因子，对其的验证也比较容易。如果未来某天发现一个间隔g(p)使得 g(p)>2√p 成立，那么这个猜想就被证伪。同时也必然导致Cramér猜想被证伪。从这个意义上说，猜想被证伪的价值比猜想成立更大。但从目前看，这种可能性极小。
3.根据素数定理，素数在N附近的平均间隔大约是ln N 。本猜想针对的是最大间隔（或至少是“充分大”的间隔）。x=2时，2√p是一个增长更快的函数。因此，对于绝大多数素数，其间隔远小于2√p。对于任何一个x，只要验证有限范围内2√p＞nei g(p)成立就可以了。
本猜想关注的是那些罕见的、异常巨大的间隔，即“极端间隔”。它断言，极端大的间隔也无法突破 2√p所设定的“天花板”。根据不等式公理，在同一个间隔g（pₔ）之下，如果最小的素数p满足⌊Φ^x⌋ˣ√p＞nei g(p)，则所有间隔g（pₔ）的素数p都满足⌊Φ^x⌋ˣ√p＞nei g(p)。所以只须验证对于首次出现素数间隔国际数据库中的所有起始素数来说猜想成立，就可以断定在已知素数数据区间内猜想均成立。
4. 黄金分割点Φ≈1.618在拟合公式N（x）中出现显得非常突兀，但这已经是目前为止最好的拟合结果，深层原因有待今后继续发掘。而且黄金分割点Φ≈1.618或者φ =0.618在数学分支学科研究中的偶然出现在历史上不乏先例。
