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函数 y = x + \dfrac{1}{x} 的单调区间与凹凸区间
一、单调区间（定义域：x \neq 0）
1.求一阶导数：
y' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}
2.令 y'=0，得 x=1 或 x=-1；x=0 处导数不存在。
3.符号分析：- x \in (-\infty, -1) 时，y'>0，函数单调递增；
- x \in (-1, 0) 时，y'<0，函数单调递减；
- x \in (0, 1) 时，y'<0，函数单调递减；
- x \in (1, +\infty) 时，y'>0，函数单调递增。
结论：
- 单调递增区间：(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)
- 单调递减区间：[-1, 0) \cup (0, 1]
二、凹凸区间（定义域：x>0 时，即题目限定范围）
1.求二阶导数：
y'' = \frac{2}{x^3}
2.当 x>0 时，y''>0，因此函数在 (0, +\infty) 上为凹函数，无凸区间。
结论（x>0 时）：
- 凹区间：(0, +\infty)
- 无凸区间
如果你需要完整的（包含 x<0 部分）凹凸区间，我也可以补充说明。
一、单调区间（定义域：x \neq 0）
1.求一阶导数：
y' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}
2.令 y'=0，得 x=1 或 x=-1；x=0 处导数不存在。
3.符号分析：- x \in (-\infty, -1) 时，y'>0，函数单调递增；
- x \in (-1, 0) 时，y'<0，函数单调递减；
- x \in (0, 1) 时，y'<0，函数单调递减；
- x \in (1, +\infty) 时，y'>0，函数单调递增。
结论：
- 单调递增区间：(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)
- 单调递减区间：[-1, 0) \cup (0, 1]
二、凹凸区间（定义域：x>0 时，即题目限定范围）
1.求二阶导数：
y'' = \frac{2}{x^3}
2.当 x>0 时，y''>0，因此函数在 (0, +\infty) 上为凹函数，无凸区间。
结论（x>0 时）：
- 凹区间：(0, +\infty)
- 无凸区间
如果你需要完整的（包含 x<0 部分）凹凸区间，我也可以补充说明。
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