下面给出这个简洁不等式的严格证明，并附带一点直观解释。
命题
设 p,q为相邻素数，且 q>p，则 (p+q)^(1/2)>q−p.
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证明
第一步：转化为整数不等式
由于两边均为正数，平方后不等号方向不变，原不等式等价于
p+q>(q−p)^2.............(1)
展开右边：
(q−p)^2=q^2−2pq+p^2.
于是 (1) 变为
p+q>q^2−2pq+p^2.
整理得
0>q^2−2pq+p^2−p−q=(q−p)^2−(p+q).............(2)
因此只需证明 (2) 成立。
第二步：利用相邻素数的基本性质
对相邻素数 p<q，一个经典结论是：
q<2p，(p≥2).
（这是因为：若 q≥2p，则在 [p+1,2p]中必存在奇合数，与 q为下一个素数矛盾；对小的素数可直接验证。）
于是由 q<2p得：
q−p<p.
从而
(q−p)^2<p(q−p).
又因为 q−p≥2（除 (2,3)外，素数差至少为 2），有
p(q−p)≤p+q当 q≤p+2.
更一般地，直接比较：
(q−p)^2≤(p−1)^2=p^2−2p+1<p+q,
对所有 p≥3成立。
第三步：逐段验证
p=2,q=3：
5≈2.236>1，成立。
p≥3：
此时 q≤2p−1，于是
(q−p)^2≤(p−1)^2=p^2−2p+1<p+q,
因为 p^2−3p+1<q显然成立。
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第四步：结论
综上，对任意相邻素数 p<q，恒有
p+q>q−p.直观解释（非证明）
左端 p+q随素数大小缓慢增长；
右端 q−p是素数间隙，远小于素数本身；
因此平方根“压倒”间隙，不等式自然成立。
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如果你愿意，我也可以：
✅ 用 Bertrand 假设 给出一个更简洁的一行证明
✅ 讨论该不等式在 素数间隙估计 中的意义
✅ 推广到 算术数列中的相邻素数