根据 q - p= 2a，得到：
p(2a + 1) - q(2a - 1) > 0
p(2a + 1) - (p + 2a)(2a - 1)
= 2ap + p - (2ap - p + 4a^2 - 2a)
= 2ap + p - 2ap + p - 4a^2 + 2a
= 2(p + a) - 4a^2
= 2(p + a - 2a^2)
= 2[p - a(2a - 1)] > 0

相邻素数，q > p > 2，则：
p + q > (q - p)^2 = p^2 - 2pq + q^2
p(p - 1) + q(q - 1) - 2pq < 0
2pq - p(p - 1) - q(q - 1) > 0
p(q - p + 1) + q(p - q + 1) > 0
.
设 q - p = 2a > 0，则：
p(2a + 1) - q(2a - 1) > 0
.
归根结底，还是必须知道：a = q - p < ?
才能证明命题： p + q > (q - p)^2 是否成立。

命题1：相邻素数p,q和的平方根大于二者之差。
.
证明：根据题意设相邻素数 q > p；√(p+q) > q - p
根据
√(p+q) = √[p+(p+2a)]
= √(2p+2a)
= [√(2p)]*[√(1+a/p)]
显然有极限：lim[√(1+a/p)] = 1；
表明：lim[√(p+q)] = √(2p)
显然：若能证明相邻素数间隔 D = q - p < √(2p)，就能证明命题1成立。
.
相邻素数间隔上极限，目前的最好结果是梅纳德的：
D < (Pn)^(2/15) ，
而
√(2Pn) / (Pn)^(2/15)
= 1.41Pn^(1/2-2/15)
= 1.414Pn^(11/30)
> 1.414Pn^0
> 1
推知：D < (Pn)^(2/15) < √(2p)
表明：上述关系式严格证明了命题1成立。
证毕。

相邻素数间隔 d = P(n+1) - Pn = (Pn)^θ = 2a
根据无条件证明的最好上确界结果： θ<13/25 (即 0.52)
a = [(Pn)^θ] / 2 < [(Pn)^(13/25)] / 2
.
若素数Q>Pn，Pn足够大时，（Pn+Q)^(1/n) > Q-Pn = 2a
则：
Lim(Pn+Q)^(1/n)
= Lim(2Pn+2a)^(1/n)
= Lim[(2Pn)^(1/n)] * [( 1 - a / Pn )^(1/n)]
= Lim[(2Pn)^(1/n)] * [( 1 - [(Pn)^(13/25)] / 2 * [Pn )^(1/n)]
= (2Pn)^(1/n)
.
令 (2Pn)^(1/n) / [(Pn)^(13/25)] > 1
2^(1/n)*Pn^(1/n -13/25) > 1
2^(1/n) * Pn^ - (13/25-1/n) > 1
Pn^(13/25-1/n) > 2^(1/n)
.
两边取对数，整理得到：
(13/25-1/n)*(LnPn) > (1/n) Ln2)
LnPn = (Ln2) / n(13/25-1/n) > 25nLn2 / (13n-25)
Pn > e^25nLn2 / (13n-25)
.
n=2，
Pn > e^ 25n Ln2 / (13n-25) = e^50 * Ln2