素数间隔的幂函数上界猜想邻居素数之间的差值称为素数间隔。比如邻居素数对{2，3}之间的素数间隔为1。但有些资料中错误地定义素数间隔为邻居素数之间的合数个数。其实后者的准确定义是素数间隙，它比素数间隔小1。邻居素数对{2，3}之间的素数间隙为0。设P1和P2是一对邻居素数，是否总有P2-P1≤3.37+√P1？是否总有P2-P1≤40.45+³√P1？是否总有P2-P1≤142.45+⁴√P1？是否总有P2-P1≤347.57+⁵√P1？是否总有P2-P1≤786.76+⁶√P1？一般地，是否总有P2-P1≤y+ˣ√P1？其中y是x的一个函数。或者可以简单总结为：对于所有素数p，相邻的素数间隔g(p)均不会超过某个幂函数上界。
推广到实数范围，或者可以记作y≥P2-P1-P1^（1/x）。(x＞0）其中最小值y是x的一个严格递增函数y=U(x)。 U是英文上界upper bound的首个大写字母。当x是大于1的任何一个整数时，绘制y=P2-P1-P1^（1/x）的曲线图，似乎总存在唯一一个关于y，即素数间隔与较小素数方根之差的上界峰值。x=2时邻居素数对是{113，127}。x=3时邻居素数对是{31397，31469}。x=4时邻居素数对是{20831323，20831533}。x=5时邻居素数对是{2,614,941,710,599， 2,614,941,711,251}。据此给出上述猜想。
这个是根据数据统计总结出的一个猜想。用一句话说就是:对于所有素数p，相邻的素数间隔g(p)不会超过某个幂函数上界。平凡的情况，就是x=1，y=-1。即任何素数间隔再减去较小素数的差必不大于-1。3-2-2=-1，5-3-3=-1，7-5-5<-1，等等。只是这种情况下可以有两个邻居素数对{2，3}{3，5}对应峰值-1。x=1，y=-1的平凡情况基本上等价于贝特朗定理。 这是一个确定性的结论，它保证了在每一个 (x, 2x] 区间内都存在素数。这意味着 p_n 之后的下一个素数 p_{n+1} 必然小于 2p_n。换言之，素数间隔永远不会超过它前面的素数本身（g(p) < p）。本博文所提猜想则是对这一上界的大幅强化。间隔不仅小于 p，甚至小于 p 的任意次方根加上一个常数。例如，当 x=2 时，猜想 g(p)≤√P1+ 3.37，这远远比贝特朗定理给出的 g(p) < p 要强。所以，贝特朗定理可以看作是对这个更精确猜想的一种“远古”且“宽松”的印证：至少我们知道间隔不会超过线性上界。这个猜想可以形式化表述为：对于任意整数x>1，相邻素数间隔 g_n = p_{n+1} - p_n 满足 g_n≤ˣ√p_n+U(x)，其中y=U(x) 是仅与x相关的一个函数。当x固定时，y=U(x)就是一个常数。有渐近公式y=2x^3ln x。渐近预期值→当 x=3时，y≈59；当 x=4时，y≈177；当 x=5时，y≈402；当 x=6 时，y≈774。而实测分别为y≈40、142、348，787。两者对比均非常接近。这可以帮助我们预估未知记录中可能相应的素数对及其间隔大小。例如x=7时y=U(x)的期望值是1334.89，但根据目前已发现的从大素数max P=101412319996363309069起始的最大素数间隔g=1854计算得到的U(x)只有1151.7左右，且从前面的大素数间隔出发计算的U(x)更小。由此估计在这个大素数附近必有更大的素数间隔。并且这个素数间隔至少要达到2000以上。根据素数定理，自然数N附近的素数间隔大约为ln N。而Cramér 猜想，在N附近最大素数间隔 max g(p)~ln²N。 但事实上，在任意区间（0，N］内，人类还没有找到过哪怕一个大于ln²N的素数间隔。可以证明，当N充分大时，对于任何一个大于1的正整数x，总有ˣ√N≫ln²N。例如N＞100000时总有√N≫ln²N。 这显然成立（左边是幂函数，右边是对数函数）。也就是说，如果Cramér 猜想成立，本猜想自动成立。但反过来却不一定。
关键推理：
· 素数定理说，在 N 附近的平均间隔 g(p)~ln² N。而Cramér 进一步猜想，在 N 附近最大素数间隔 max g(p)~ln²N。而 N^{1/x} 的增长速度远快于平均间隔与最大素数间隔。· 因此，对于足够大的素数 p，实际的素数间隔 g(p) 几乎总是小于 p^{1/x}（因为 g(p) 最多在 (ln p)^2 量级，而 p^{1/x} 是幂函数）。· 于是 F_x(p)=g(p)-p^{1/x} 对于大多数大素数都是很大的负数。· 但在较小的 p 处（例如上述的那些纪录点），p^{1/x} 还不太大，而 g(p) 可能相对显著，使得 F_x(p) 为正且较大。·由于 F_x(p) 在
推广到实数范围，或者可以记作y≥P2-P1-P1^（1/x）。(x＞0）其中最小值y是x的一个严格递增函数y=U(x)。 U是英文上界upper bound的首个大写字母。当x是大于1的任何一个整数时，绘制y=P2-P1-P1^（1/x）的曲线图，似乎总存在唯一一个关于y，即素数间隔与较小素数方根之差的上界峰值。x=2时邻居素数对是{113，127}。x=3时邻居素数对是{31397，31469}。x=4时邻居素数对是{20831323，20831533}。x=5时邻居素数对是{2,614,941,710,599， 2,614,941,711,251}。据此给出上述猜想。
这个是根据数据统计总结出的一个猜想。用一句话说就是:对于所有素数p，相邻的素数间隔g(p)不会超过某个幂函数上界。平凡的情况，就是x=1，y=-1。即任何素数间隔再减去较小素数的差必不大于-1。3-2-2=-1，5-3-3=-1，7-5-5<-1，等等。只是这种情况下可以有两个邻居素数对{2，3}{3，5}对应峰值-1。x=1，y=-1的平凡情况基本上等价于贝特朗定理。 这是一个确定性的结论，它保证了在每一个 (x, 2x] 区间内都存在素数。这意味着 p_n 之后的下一个素数 p_{n+1} 必然小于 2p_n。换言之，素数间隔永远不会超过它前面的素数本身（g(p) < p）。本博文所提猜想则是对这一上界的大幅强化。间隔不仅小于 p，甚至小于 p 的任意次方根加上一个常数。例如，当 x=2 时，猜想 g(p)≤√P1+ 3.37，这远远比贝特朗定理给出的 g(p) < p 要强。所以，贝特朗定理可以看作是对这个更精确猜想的一种“远古”且“宽松”的印证：至少我们知道间隔不会超过线性上界。这个猜想可以形式化表述为：对于任意整数x>1，相邻素数间隔 g_n = p_{n+1} - p_n 满足 g_n≤ˣ√p_n+U(x)，其中y=U(x) 是仅与x相关的一个函数。当x固定时，y=U(x)就是一个常数。有渐近公式y=2x^3ln x。渐近预期值→当 x=3时，y≈59；当 x=4时，y≈177；当 x=5时，y≈402；当 x=6 时，y≈774。而实测分别为y≈40、142、348，787。两者对比均非常接近。这可以帮助我们预估未知记录中可能相应的素数对及其间隔大小。例如x=7时y=U(x)的期望值是1334.89，但根据目前已发现的从大素数max P=101412319996363309069起始的最大素数间隔g=1854计算得到的U(x)只有1151.7左右，且从前面的大素数间隔出发计算的U(x)更小。由此估计在这个大素数附近必有更大的素数间隔。并且这个素数间隔至少要达到2000以上。根据素数定理，自然数N附近的素数间隔大约为ln N。而Cramér 猜想，在N附近最大素数间隔 max g(p)~ln²N。 但事实上，在任意区间（0，N］内，人类还没有找到过哪怕一个大于ln²N的素数间隔。可以证明，当N充分大时，对于任何一个大于1的正整数x，总有ˣ√N≫ln²N。例如N＞100000时总有√N≫ln²N。 这显然成立（左边是幂函数，右边是对数函数）。也就是说，如果Cramér 猜想成立，本猜想自动成立。但反过来却不一定。
关键推理：
· 素数定理说，在 N 附近的平均间隔 g(p)~ln² N。而Cramér 进一步猜想，在 N 附近最大素数间隔 max g(p)~ln²N。而 N^{1/x} 的增长速度远快于平均间隔与最大素数间隔。· 因此，对于足够大的素数 p，实际的素数间隔 g(p) 几乎总是小于 p^{1/x}（因为 g(p) 最多在 (ln p)^2 量级，而 p^{1/x} 是幂函数）。· 于是 F_x(p)=g(p)-p^{1/x} 对于大多数大素数都是很大的负数。· 但在较小的 p 处（例如上述的那些纪录点），p^{1/x} 还不太大，而 g(p) 可能相对显著，使得 F_x(p) 为正且较大。·由于 F_x(p) 在
