4/n = 1/x + 1/y + 1/z 等价于 nxy + nxz + nyz = 4xyz
属于三元三次不定方程。
.
给出三元三次方程的正整数解，除了赋值穷举法以外，是比较困难的。
.
但当赋予 z=c 为定值时，原式变换为
(4c-n)xy - cnx - cny = 0

4/n = 1/x + 1/y + 1/z 等价于 nxy + nxz + nyz = 4xyz
三次不定方程。
给出三元三次方程的正整数解，除了赋值穷举法以外，是比较困难的。
但当赋予 z=c 为定值时，原式变换为 (4c-n)xy - cnx - cny = 0
埃尔德什猜想，对于指定的c,n， (4c-n)xy - cnx - cny = 0，可变换为类似于：
费马数关系式：
2^(m+2)XY + X + Y = [F(m)-1] / 2^(m+2)
梅森数关系式：
（8p)MK + 4M + K = [2^(p-1)-1] / p
.
都是二元二次方程求正整数问题。
.
分析可知：
建立各自的因子分布载体-等差数列，是解决此类问题的较好切入点。

按照前面的思路逻辑，则：
(4c-n)xy - ncx = ncy
[(4c-n)y - nc] x = ncy ⟺ ncy ≡ 0 (modQ)，
Q = (4c - n) y - nc > 0
.
实例1：按照猜想定义范围取：n = 2 > 1
Q = (4c - n) y - nc = (4c - 2) y - 2c > 0
取 c = 1，Q = 2y - 2 = 2 (y-1)
[(4c-2)y - 2c] x = 2cy ⟺ 2y ≡ 0 (modQ)，变换为：
2[y - 1] x = 2y ⟺ 2y ≡ 0 (mod2(y-1) ⟺ y ≡ 0 (mod(y-1))
显然有解：y = 2
4/2 = 1/x + 1/y + 1/z = 1/2 + 1/2 + 1/1 = 2
.
实例2：按照猜想定义范围取：n = 3 > 1
Q = (4c - n) y - nc = (4c - 3) y - 3c > 0
取 c = 1，Q = y - 3
[(4c-3)y - 3c] x = 3cy ⟺ 3y ≡ 0 (modQ)，变换为：
(y - 3) x = 3y ⟺ 3y ≡ 0 (mod(y-3)
显然有解：y = 4
4/3 = 1/x + 1/y + 1/z = 1/12 + 1/4 + 1/1 = 1 + 1/3
.
实例3：按照猜想定义范围取：n = 4 > 1
Q = (4c - n) y - nc = (4c - 4) y - 4c = 4 [ (c - 1) y - 1 ] > 0
(c - 1) y -1 > 0 ⟺ c > 1
取 c = 2
[(4c-n)y - nc] x = ncy ⟺ (4y - 8) x = 8y
8y ≡ 0 (modQ)，变换为：
8y ≡ 0 (mod(4y-8)) ⟺ 8y ≡ 0 (mod4(y-2))
显然有解：y = 3
4/4 = 1/x + 1/y + 1/z = 1/6 + 1/3 + 1/2 = 1
.
仔细考察上面的三个实例，会发现解析 x, y 的规律性。
从而找到证明1楼猜想的客观逻辑和理论依据。

按照5楼的思路逻辑，则：
(4c-n)xy - ncx = ncy
[(4c-n)y - nc] x = ncy ⟺ ncy ≡ 0 (modQ)，
Q = (4c - n) y - nc > 0
.
实例4：按照猜想定义范围取：n = 5 > 1
Q = (4c - n) y - nc = (4c - 5) y - 5c > 0
取 c = 2，Q = 3y - 10
[(4c-5)y - 5c] x = 5cy ⟺ 10y ≡ 0 (modQ)，变换为：
[3y - 10] x = 10y ⟺ 10y ≡ 0 (mod(3y-10)
显然有解：y = 4，x = 20
4/5 = 1/x + 1/y + 1/z = 1/20 + 1/4+ 1/2 = 1 - 1/5
.
实例5：按照猜想定义范围取：n = 6 > 1
Q = (4c - n) y - nc = (4c - 6) y - 6c > 0
取 c = 2，Q = 2y - 12 = 2(y - 6)
[(4c-6)y - 6c] x = 6cy ⟺ 12y ≡ 0 (modQ)，变换为：
(2y - 12) x = 12y ⟺ 12y ≡ 0 (mod2(y-6))
显然有解：y = 7，x = 42
4/6 = 1/x + 1/y + 1/z = 1/42 + 1/7 + 1/2 = 2/3
.
实例6：按照猜想定义范围取：n = 7 > 1
Q = (4c - n) y - nc = (4c - 7) y - 7c > 0
(4c - 7) y -7c > 0 ⟺ c > 1
取 c = 2
[(4c-n)y - nc] x = ncy ⟺ (y - 14) x = 14y
14y ≡ 0 (modQ)，变换为：
14y ≡ 0 (mod(y-14)) ⟺ 14y ≡ 0 (mod(y-14))
显然有解：y = 15，x = 210
4/7 = 1/x + 1/y + 1/z = 1/210 + 1/15 + 1/2 = 120/210

实例7：按照猜想定义范围取：n = 25 > 1
(4c-n)xy - cnx - cny = 0
[(4c-n)y - cn]x = cny
[(4c-25)y - 25c] x = 25cy
25cy ≡ 0 (mod[(4c-25)y-25c])
取c=10
250y ≡ 0 (mod(15y-250))
250y ≡ 0 (mod5(3y-50))
令3y-50=1，则y=17同余式有解：
代入(15y-250)x=250y，得到
x = 250y / (15y-250) = 250*17 / 5 = 850
.
可见：(x,y,z) = (850,17,10)，是满足 n = 25 时，4/n=1/x+1/y+1/z的一组解。
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实例8：按照猜想定义范围取： n = 49 ≡ 1 (mod24)
(4c-n)xy - cnx - cny = 0
[(4c-n)y - cn]x = cny
[(4c-49)y - 49c] x = 49cy
49cy ≡ 0 (mod[(4c-49)y-49c])
取c=14，得到
[7y - 686] x = 686y
686y ≡ 0 (mod7(y-98))
显然：y=99时，同余式有解：
代入(7y-686)x=686y，得到
x = 250y / (15y-250) = 686*99 / 7 = 9702
.
可见：(x,y,z) = (9702,99,14)，是满足 n = 49 时，4/n=1/x+1/y+1/z的一组解。
归纳以上两楼实例的解析推理过程，可以发现：取n ≡ 1 (mod24)时，总能找到一个n的因子a的倍数ma，满足z=c=ma，使得方程(4c-n)xy - cnx - cny = 0有解。

实例9：按照猜想定义范围取：素数 n = 73 ≡ 1 (mod24)
[(4c-n)y - cn]x = cny
[(4c-73)y - 73c] x = 73cy……………… (1)
73cy ≡ 0 (mod[(4c-73)*y-73c])
.
取(4c-73)y-73c=Q>0，则4c-73 =k> 0 ，等价于 4c-k=73
由于k的系数为1，得到c = {19,20,21,….}，使得总能找到一个c值，满足Q：
（1）Q=3y-19*73=73，y没有整数解舍去。
（2）Q=7y-20*73=73，7y=21*73，有整数解y=3*73=219
代入式（1）得到X = (73*c*y) / Q = c*y = 20y = 60*73 = 4380
可见：(x,y,z) = (4380, 219, 20)，。是满足n=73时，4/n=1/x+1/y+1/z的一组正整数解。