求解：构造完全平方数的条件

已知：p=11，d=3，存在完全平方数
(2^p+p^2 d^2-1) = 2048 + (11^2)(3^2) - 1 = 56^2

对任意奇素数p都存在显然解
d = (2^(p-1) - 1)/p
按照费马小定理, 这里的d是整数 (并且一定是奇数), 这时
2^p -1 = 2pd + 1
=>2^p - 1 + (pd)^2
= (pd+1)^2
.
求解：存在一个奇数d < (2^(p-1) - 1)/p，
使得(2^p+p^2 d^2-1)为完全平方数的条件（素数p的同余类型）？

这题本质上是把 (2^(p-1))^2 = 2^p + (2^(p-1) - 1)^2 - 1 两边强行除以 p^2 伪装出来的——只要认出 2^(p-1) - 1 能被 p 整除（FLT），就直接得到 d = q_p(2)。
所以“同余类型”只有一个：奇素数；
真正有意思的，不是哪些 p 能行，而是费马商 q_p(2) 什么时候自己还是平方（那才只会卡出 p=3,7）。

p 为素数时，M_p = 2^p−1 是合数的可写下来的特征不是单条公式，而是——
1、任何素因子必为 q = 2kp+1 且 q ≡ ±1 (mod 8)；
2、若 p ≡ 3 (mod 4) 且 2p+1 是素数（p ≠ 3），则 M_p 必为合数；
3、其余情形，即p ≡ 1 mod 4 或 2p+1 合数，只能靠 Lucas–Lehmer 或逐 k 试除来试验

设素数p，M_p = 2^p−1 为合数的充要条件是：
存在一个小于2^(p/2)的素数q，满足
q=2kp+1，gcd(2,k)=1，[2^(p -1) -1] / p ≡ k (modq)
或者
q=8mp+1，[2^(p -1) -1] / p ≡ 4m (modq)