证明了有重复的可数了，重复的比不重复的多，那不重复的肯定也可数了吧

可数集的子集显然也为可数集

这家伙在说什么呢

遇到重复的跳过不就行了

另外，可数集的可数并也可数，这个命题的证明也需要折线构造
按照你的说法，你下一步就是需要使用可数集的有限并也可数，不就循环论证了？

确实不严格。
在承认选择公理的情况下，A到B有满射等价于B到A有单射（这其实等价于选择公理的一个弱化版本），因此N到N²满能推出N²到N单，又显然有N到N²单（直接嵌入），由SBC定理（若A到B单且B到A单，则存在双射），于是N和N²双射，N²可数。
不过单单这个结论其实不需要选择公理（但是可数集的可数并可数一定需要一个弱化选择公理），因为我们可以直接构造一个数列满足前后两项之比刚好生成所有有理数（不重复的），不过我忘了那个数列是什么了，你自己找找吧

有定理，可数集的子集也可数。Amann的analysis i上有一个构造性证明😘
另外有没有大佬看看，这种证明依赖于选择公理吗？

按照第一个位置即可。

有重复，不是单的但是是满的，说明整数能映射所有有理数，甚至还有重复

任何一个无限集都可以通过朴素的枚举构造出一个可数集包含于这个无限集，换言之，任何无限集都有一个可数子集，可数集的基数是最小的无限集基数